专题1巧作三线合一构造全等三角形【专题说明】三线合一：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。【模型展示】A B D c 如右图，在!:.ABC中，CD若AB=AC，乙BAD 乙CAD，则AD_j_BC,BD = CD 若AB=AC,AD_j_BC，则BD=CD，乙BAD乙CAD若AB=AC,BD = CD，则 ADJ_BC，乙BAD乙CAD若乙BAD乙CAD,AD_j_BC，则AB=AC,BD = CD 若乙BAD 乙CAD,BD=CD，则AD上BC,AB=AC若BD=CD, AD _BC，则AB=AC，乙BAD乙CAD等腰三角形三线合一的应用非常广泛，它包含了多层意义，可以用来证明角相等、线段相等、垂直关系等。等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或的倍分关系。在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时需要作高或中线，这要视具体情况而定。【精典例题】1如图，已知房屋的顶角乙BAC=I00，过屋顶A的立柱ADJ_BC，屋掾AB=AC，求顶架上乙B、乙C、乙BAD、乙CAD的度数A B 【解析】？6ABC中，AB=AC，乙BAC=l00l l ：乙B乙C=-=-(180乙BAC)=-=-(l 80 -100 )=4oo 2 2 D c : AB=AC, AD.LBC,乙BAC=l00:.AD平分乙BAC,乙BAD乙CAD=502如图，在t:,.ABC中，AB=AC,AD=DB=BC, DE_I_AB千点E,若CD=4,且t:,.BDC的周长为24,求AE长A B 【解析】？AD=DB=BC,CD=4,且丛BDC的周长为24:.AD=DB=BC=lO, :.AC=l4 : AB=AC, :.AB=l4 : AD=DB, DE上AB1 :.AE=BE=-AB=7 2 C 3已知：三角形ABC中，乙A=90,AB=AC, D为BC的中点，如图，E,F分别是AB.AC上的点，且BE=AF,求证：丛DEF为等腰直角三角形。A I) 【解析】证明：连接AD,.AB=AC,乙A=90,D为BC中点，A B ）c .AD=BD=CD,且AD平分乙BAC,乙BAD乙CAD=45在6BDE和6ADF中，BD=AD,乙B乙DAF=45,BE=AF, .6BDE竺6ADF,占DE=DF,乙BDE乙ADF:乙BDE乙ADE=90,.乙ADF乙ADE=90即乙EDF=90,:. 6EDF为等腰直角三角形。4、已知：在t:-.ABC中，乙B乙C.求证：AB=AC,证明：如图，过点A作AD上BC千点DA B ; AD上BC,:乙ADB乙ADC=90在ADB和AADC中，：ABD=B二勹：（已知）AD=AD （公共边）:.AB=AC（全等三角形对应边相等）D C .t:,_ADB兰t:,_ADC(MS) 5如图，1:,.ABC中，AC=2AB,AD平分乙BAC交BC千D,E是AD上一点，且EA=EC,求证：EBl_AB.B A c 【解析】证明：作EF上AC于F,B A F : EA=EC, 1 .AF=FC=.:.:.Ac 2 ?AC=2AB .AF=AB ?AD平分乙BAC交BC千D:.乙BAD乙CAD在!.BAE和!.FAE中，AB=AF,乙BAD乙CAD,AE=AE .1:,.ABE竺t,.AFE(SAS):.乙ABE乙AFE=90. . EB.LAB. c 6如图，已知在等腰直角三角形ABC中，AB=AC,乙BAC=90,BF平分乙ABC.CDl_BF交BF的延长线千点D求证：BF=2CD.A B 【解析】证明：延长BA交CD的延长线千点E.c E ，八A, f , B : BF是乙CBA的角平分线，乙CBF乙DBA: BDl_CE,乙BDC乙EDB：乙CBF乙DBA,BD=BD,乙BDC乙EDB.t.BDC兰t.BDE,占 CD=DE. :乙BAC=90.AC上AB,即t.BAF是直角三角形乙BAC=90,乙BDC=90:.乙BAC乙BDCc ：乙DBA乙BED乙BDC,乙ECA乙AEC乙BAC,乙BAC乙BDC,乙AEC乙BED:乙DBA乙ECA：乙DBA乙ECA,AB=AC,乙BAC乙CAE=90:.1:,CAE竺1:,BAF:.BF=CE : CD+DE=CE, CD=DE, BF=CE :.BF=2CD. 7如图，在t:.ABC中，AD上BC千点D,且乙ABC=2乙C,求证：CD=AB+BD.A H D 【解析】证明：在DC上找一点M,使得DM=DB,连接AM.A C B .AD1-BC, DM=BD .AD是BM的垂直平分线占AB=AM：乙B乙AMB：乙B=2乙C,乙,AMB乙C乙MAC：乙MAC乙C.AM=CM .CM=AB :. CD=DM+MC=BD+AB. D _f c 8、已知：如图，AB=CD,AC与BD交千点O,且AC=BD.求证：乙ABO乙DCOA c 证明：如图，连接ADA c 在aABD和aDCA中，工言久勹AD= DA（公共边）:乙ABO乙DCO（全等三角形对应角相等）:.t.ABD竺t.DCA(SSS) 9、已知：如图，在四边形ABCD中，ABII CD, AD II BC,求证：AB=CD且AD=BC.AG B c 证明：如图，连接AC厂二B c .ABIICD :.乙CAB乙ACD.ADIi BC 乙DAC乙BCA在oABC和ACDA中，；CCA=BC=A:C言证），:.oABC骂CDA(ASA) 乙BCA乙DAC（已证）:.AB=CD, BC=DA（全等三角形对应边相等）10、已知：如图，AB=AE,BC=ED, 乙B乙E,F是CD的中点，求证：AF上CD.A B E c F D 证明：如图，连接AC,AD A B /c E 在1:,ABC和1:,AED中，厂:EE( （已己：廿n). AABC兰AAED ( SAS ) BC=ED（已知）二AC=AD（全等三角形对应边相等）: F是CD的中点，.CF=DF 在AACF和AADF中，：勹言AACF竺AADF(SSS) CF=DF（已证）:. LCFA乙DFA（全等三角形对应角相等）:乙CFA乙DFA=l80,:.乙CFA=90,:.AF上CD11、已知：如图，在1:,.ABC中，点D,E在AC上，乙ABD乙CBE,LA乙C.求证：BD=BE.C A 证明：如图，过点B作BF.lAC千点Fc A : BF上AC,:.乙BFA乙BFC=90在6ABF和6CBF中，厂二勹B己F:()已证）BF=BF（公共边）.AB=CB（全等三角形对应边相等）在MBD和fiCBE中，：言已勹勹乙ABD乙CBE（已知）.BD=BE（全等三角形对应边相等）:.t:,.ABF竺t:,.CBF(AAS) :.1:,.ABD兰1:,.CBE(ASA) 12、已知：如图，在6.ABD中，BC上AD千点C,E为BC上一点，AE=BD,EC=CD,延长AE交BD于点F.求证：AF上BD.B A c D 证明：如图，: BC上AD:.乙ACE乙BCD=90在Rtt:,.ACE和Rtt:,.BCD中AE=BD（已知）CE=CD（已知）.RtAACE兰Rtt:.BCD(HL) :乙CAE乙CBD（全等三角形对应角相等）:乙ACE=90:.乙CAE乙AEC=90：乙AEC乙BEF:.乙CBD乙BEF=90:.乙BFE=90占AF.lBD专题2一次函数中的构造等腰直角三角形l、如图1,等腰直角三角形ABC中，乙ACB=90,CB=CA,直线ED经过点C,过A作ADl_ED于点D,过B作BEl_ED千点E.I 口B A E D 。f2 I图2。夕xl c 图3求证：1:,BEC兰1:,CDA:【解析】（ 1 )由题意可知：1:,BEO竺1:,AOD(K型全等），OE=AD,: k= -l, :.y= - x+4, :. B (0, 4) , :. 08=4, .BE=3,.OE石，占AD扛4 4 (2) k=一时，y=-x+4, :.A (3, O), 3 3 当BM.lAB,且BM=AB时，过点M作MN.ly轴，y B 10 A M X :.1:,.BMN兰1:,.ABO（凶），:.MN=OB,BN=OA, :.MN=4, BN= 3, :.M (4, 7) ; 当AB.LAM，且AM=AB时，过点M作x轴垂线MK,) / B 儿fX 10 A K :.!,.ABO竺AMK(AAS) , :.OB= AK, OA= MK, :.AK=4, MK=3, :.M (7, 3) ; 当AM.LBM,且AM=BM时，过点M作MH.Lx轴，MG.Ly轴，I l B 。& x AH ./J.BMG兰/J.AHM(AAS), :.BG= AH, GM= MH, :.GM= MH, 7 7 7 :.4 - MH= MH - 3, :.MH=7, :.M（一，一）; 2 2 2 7 7 综上所述：M(7, 3)或 M(4, 7)或M（一，一）; 2 2 4 (3)当kO时，AO一，过点Q作QSJ_y轴，k y B A 10 x ：心ABO竺t:.BQS(AAS) ,.BS=OA, SQ= OB, 占 Q(4, 4 -1), :.OQ=l6(2三），k灶k:.当k=1时，QO最小值为4;:当kO时，Q(4, 4 -i), :.OQ=16(2?三），k灶k:当k=1时，QO最小值为4,与kBOP和tCOP的面积相等，求点P坐标(3)如图2,平移直线l,分别交x轴，y轴千交千点A1B1,过点C作平行千y轴的直线M,在直线M上是否存在点Q,使得AA心Q是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标v已ml Y 图1【解析】(1)设y=O,则上x+2=0,解得：x=-4, 2 设x=O,则y=2,：点A的坐标为(-4, 0)，点B的坐标的坐标为(O,2); 图2（2)点C(2, 0)，点B(0, 2), :.OC=2, OB=2, 1 : p是直线AB上一动点，设PCM, M+2), 2 .:ABOP和l:.COP的面积相等，1 1 1 :.x21Ml= X 2x(师2)，解得：M士4,当M=-4时，点P与点A重合，2 2 2 :.点 P坐标为(4,4); (3)存在；理由：如图l,Vt m 0_C x 图1CD当点B1是直角顶点时，占B1Q=B凶，凡Bl Q / = Bl A 。/ . , 。9, =QQ H1 BllB IRH 乙lA 。乙lQ+111 0BBB 01_ lAl Bl AA0B 乙乙乙Al,L 。, 。中9 = Q H lH 卯Bl 廿/ 禾Bl 。Bio AlAi 乙1？在.t.,A10B1兰t.,B1HQC M S), ：趴H=A10,OB1=HQ=2, ：趴(0,-2)或(0,2), 当 点B1CO, -2)时，Q( - 2 , 2), 当 点B1(O, 2)时，.B(0,2),:点趴(0,2)（不合题意舍去），：直线AB向下平移4个单位，点Q也向上平移4个单位，:.Q ( - 2, 2) , 当 点A1是直角顶点时，A心A1Q,m 图2( a) 图2(b) 0 1 了直线AB的解析式为y=x+2,2 由平移知，直线A心的解析式为y=上x+B,2 :.A1 (-28, O), 81 CO, 8), :.A18产482+82=58气.A1B1.lA1Q,直线A1Q的解析式为y=-2.x-4B,.Q ( -2, 4 - 4B), 坏心（28+2)红(4- 48 ) 2=208红408+20,: .20B2 -40B+20=5B气:.B=2或B乌Q(-2, -4)或（2，土）；3 3 当Q是直角顶点时，过Q作QH.ly轴千H,V” m x 叮.,H图3:.A,Q= B,Q, ：乙QA1C1乙A,QC=90,乙A,QC乙CQB