现代控制理论第四章习题答案4-1判断下列二次型函数的符号性质：（1）（2）解：（1）由已知得，因此是负定的（2）由已知得，因此不是正定的4-2已知二阶系统的状态方程：试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件。解：方法（1）：要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定，则要求满足A的特征值均具有负实部。即：有解，且解具有负实部。即：方法（2）：系统的原点平衡状态为大范围渐近稳定，等价于。取，令，则带入，得到若 ，则此方程组有唯一解。即其中要求正定，则要求因此，且4-3试用lyapunov第二法确定下列系统原点的稳定性。（1）（2）解：（1）系统唯一的平衡状态是。选取Lyapunov函数为，则是负定的。，有。即系统在原点处大范围渐近稳定。（2）系统唯一的平衡状态是。选取Lyapunov函数为，则是负定的。，有。即系统在原点处大范围渐近稳定。4-6设非线性系统状态方程为：试确定平衡状态的稳定性。解：若采用克拉索夫斯基法，则依题意有：取很明显，的符号无法确定，故改用李雅普诺夫第二法。选取Lyapunov函数为，则是负定的。，有。即系统在原点处大范围渐近稳定。4-9设非线性方程：试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性。解：（1）采用克拉索夫斯基法，依题意有：，有。取则 ，根据希尔维斯特判据，有：，的符号无法判断。（2）李雅普诺夫方法：选取Lyapunov函数为，则是负定的。，有。即系统在原点处大范围渐近稳定。4-12试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数解：假设的梯度为：计算的导数为：选择参数，试选，于是得：，显然满足旋度方程，表明上述选择的参数是允许的。则有：如果，则是负定的，因此，是的约束条件。计算得到为：是正定的，因此在范围内，是渐进稳定的。