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2019届中考数学 压轴题函数直角三角形问题精选解析(二)例3 在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴的交点分别为原点O和点A,点B(2,n)在这条抛物线上(1)求点B的坐标;(2)点P在线段OA上,从点O出发向点A运动,过点P作x轴的垂线,与直线OB交于点E,延长PE到点D,使得EDPE,以PD为斜边,在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当点P运动时,点C、D也随之运动)当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时,求OP的长;若点P从点O出发向点A作匀速运动,速度为每秒1个单位,同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动,速度为每秒2个单位(当点Q到达点O时停止运动,点P也停止运动)过Q作x轴的垂线,与直线AB交于点F,延长QF到点M,使得FMQF,以QM为斜边,在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当点Q运动时,点M、N也随之运动)若点P运动到t秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,求此刻t的值图1解析(1) 因为抛物线经过原点,所以 解得,(舍去)因此所以点B的坐标为(2,4)(2) 如图4,设OP的长为t,那么PE2t,EC2t,点C的坐标为(3t, 2t)当点C落在抛物线上时,解得如图1,当两条斜边PD与QM在同一条直线上时,点P、Q重合此时3t10解得如图2,当两条直角边PC与MN在同一条直线上,PQN是等腰直角三角形,PQPE此时解得如图3,当两条直角边DC与QN在同一条直线上,PQC是等腰直角三角形,PQPD此时解得 图1 图2 图3考点伸展在本题情境下,如果以PD为直径的圆E与以QM为直径的圆F相切,求t的值如图5,当P、Q重合时,两圆内切,如图6,当两圆外切时, 图4 图5 图6例4 如图1,已知A、B是线段MN上的两点,以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成ABC,设(1)求x的取值范围;(2)若ABC为直角三角形,求x的值;(3)探究:ABC的最大面积?图1解析(1)在ABC中,所以 解得(2)若AC为斜边,则,即,此方程无实根若AB为斜边,则,解得,满足若BC为斜边,则,解得,满足因此当或时,ABC是直角三角形(3)在ABC中,作于D,设,ABC的面积为S,则如图2,若点D在线段AB上,则移项,得两边平方,得整理,得两边平方,得整理,得所以()当时(满足),取最大值,从而S取最大值 图2 图3如图3,若点D在线段MA上,则同理可得,()易知此时综合得,ABC的最大面积为考点伸展第(3)题解无理方程比较烦琐,迂回一下可以避免烦琐的运算:设,例如在图2中,由列方程整理,得所以因此
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