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2019届中考数学复习专题三圆的证明与计算试题类型一 切线的判定判定某直线是圆的切线,首先看是否有圆的半径过直线与圆的交点,有半径则证垂直;没有半径,则连接圆心与切点,构造半径证垂直 (2016黄石)如图,O的直径为AB,点C在圆周上(异于A,B),ADCD,(1)若BC3,AB5,求AC的值;(2)若AC是DAB的平分线,求证:直线CD是O的切线 【分析】 (1)根据直径所对的圆周角为直角,利用勾股定理求AC的长;(2)连接OC,利用AC是DAB的平分线,证得OACCAD,再结合半径相等,可得OCAD,进而结论得证 1(2016六盘水)如图,在O中,AB为直径,D,E为圆上两点,C为圆外一点,且EC90.(1)求证:BC为O的切线;(2)若sin A,BC6,求O的半径 2(2017济宁)如图,已知O的直径AB12,弦AC10,D是的中点,过点D作DEAC,交AC的延长线于点E.(1)求证:DE是O的切线;(2)求AE的长 类型二 切线的性质已知某条直线是圆的切线,当圆心与切点有线段连接时,直接利用切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径;当圆心与切点没有线段相连时,则作辅助线连接圆心与切点,再利用切线的性质解题 (2016资阳)如图,在O中,点C是直径AB延长线上一点,过点C作O的切线,切点为D,连接BD.(1)求证:ABDC;(2)若CM平分ACD,且分别交AD,BD于点M,N,当DM1时,求MN的长 【分析】 (1)连接OD,由切线的性质可得CDBODB90,由AB是直径,可得ADB90,进而可得AABD90,进而求得ABDC;(2)由角平分线及三角形外角性质可得AACMBDCDCM,即DMNDNM,再根据勾股定理求得MN的长 3(2016南平)如图,PA,PB是O切线,A,B为切点,点C在PB上,OCAP,CDAP于点D.(1)求证:OCAD;(2)若P50,O的半径为4,求四边形AOCD的周长(精确到0.1,参考数据sin 500.77,cos 500.64,tan 501.19) 4(2017长沙)如图,AB与O相切于点C,OA,OB分别交O于点D,E,.(1)求证:OAOB;(2)已知AB4,OA4,求阴影部分的面积 类型三 圆与相似的综合 圆与相似的综合主要体现在圆与相似三角形的综合,一般结合切线的判定及性质综合考查,求线段长或半径一般的解题思路是利用切线的性质构造角相等,进而构造相似三角形,利用相似三角形对应边成比例求出所求线段或半径 (2016荆门)如图,AB是O的直径,AD是O的弦,点F是DA延长线的一点,AC平分FAB交O于点C,过点C作CEDF,垂足为点E.(1)求证:CE是O的切线;(2)若AE1,CE2,求O的半径 【分析】 (1)连接CO,证得OCACAE,由平行线的判定得到OCFD,再证得OCCE即可;(2)连接BC,由圆周角定理得到BCA90,再证得ABCACE,根据相似三角形的性质即可求得半径 5(2017德州)如图,已知RtABC,C90,D为BC的中点以AC为直径的O交AB于点E.(1)求证:DE是O的切线;(2)若AEEB12,BC6,求AE的长 6(2017黄冈)如图,已知MN为O的直径,ME是O的弦,MD垂直于过点E的直线DE,垂足为点D,且ME平分DMN.求证:(1)DE是O的切线;(2)ME2MDMN. 7(2016丹东)如图,AB是O的直径,点C在AB的延长线上,CD与O相切于点D,CEAD,交AD的延长线于点E.(1)求证:BDCA;(2)若CE4,DE2,求AD的长 参考答案【例1】 (1)AB是O的直径,点C在O上,ACB90,AC4.(2)如图,连接OC,AC平分DAB,OACCAD.OAOC,OACOCA,OCACAD,OCAD.ADCD,OCCD.OC是O的半径,直线CD是O的切线【变式训练】 1(1)证明:A与E所对的弧都是,AE.EC90,AC90,ABC180AC90.即ABBC.AB是直径,BC为O的切线(2)解:sin A,BC6,AC10.在RtABC中,AB8,AOAB4,即O的半径是4.2(1)证明:如图,连接OD.D是的中点,BODBAE,ODAE.DEAC,AED90,ODE90.ODDE,DE是O 的切线(2)解:如图,过点O作OFAC于点F.AC10,AFCFAC105.OFEDEFODE90,四边形OFED是矩形,FEODAB6,AEAFFE5611.【例2】 (1)如图,连接OD,CD是O的切线,ODC90,BDCODB90.AB是O的直径,ADB90,AABD90.OBOD,OBDODB,AODB90,ABDC.(2)CM平分ACD,DCMACM.ABDC,AACMBDCDCM.即DMNDNM.ADB90,DM1,DNDM1,MN.【变式训练】 3(1)证明:PA是O的切线,A为切点,OAPA,即OAD90.OCAP,COA180OAD1809090.CDPA,CDAOADCOA90,四边形AOCD是矩形,OCAD.(2)解:PB切O于点B,OBP90.OCAP,BCOP50.在RtOBC中,sinBCO,OB4,OC5.22,矩形OADC的周长为2(OAOC)2(45.22)18.4.4(1)证明:如图,连接OC.AB与O相切于点C,ACO90.,AOCBOC,AB,OAOB.(2)解:由(1)可知OAB是等腰三角形,BCAB2,sinCOB,COB60,B30,OCOB2,S扇形OCE,SOCB222,S阴影SOCBS扇形OCE2.【例3】 (1)如图,连接CO,OAOC,OCAOAC.AC平分FAB,OACFAC,OCAFAC,OCFD.CEFD,CEOC.OC是O的半径,CE是O的切线(2)如图,连接BC,在RtACE中,AC.AB是O的直径,BCA90,BCACEA.CAEBAC,ACEABC,即,AB5,AOAB2.5即O的半径是2.5.【变式训练】 5(1)证明:如图,连接OE,CE.AC是O的直径,AECBEC90.D是BC的中点,EDBCDC,12.OEOC,34,1324,即OEDACD.ACD90,OED90,即OEDE.又E是O上一点,DE是O的切线(2)解:由(1)知BEC90.在RtBEC与RtBCA中,B为公共角,BECBCA,即BC2BEBA.AEEB12,设AEx,则BE2x,BA3x.又BC6,622x3x.x,即AE.6证明:(1)ME平分DMN,OMEDME.OMOE,OMEOEM,DMEOEM,OEDM.DMDE,OEDE.OE是O的半径,DE是O的切线(2)如图,连接EN,DMDE,MN为O的直径,MDEMEN90,NMEDME,MDEMEN,ME2MDMN.7(1)证明:如图,连接OD,CD是O的切线,ODC90.即ODBBDC90.AB为O的直径,ADB90.即ODBADO90.BDCADO.OAOD,ADOA,BDCA.(2)解:CEAE,E90,DBEC,DCEBDC.BDCA,ADCE.又EE,AECCED,CE2DEAE,即162(2AD)AD6.
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