第十电路方程的矩阵形式第十电路方程的矩阵形式第一页，共五十八页。优选第十电路方程的矩阵形式第二页，共五十八页。876543219876543219割集：割集：（1 9 6）（）（2 8 9）（）（3 6 8）（）（4 6 7）（）（5 7 8）（3 6 5 8 7）（）（3 6 2 8）是割集吗？是割集吗？基本割集基本割集只含有一个树枝的割集。割集数只含有一个树枝的割集。割集数n-1连支集合不能构成割集连支集合不能构成割集第三页，共五十八页。10.2 10.2 有向图的矩阵表示有向图的矩阵表示 电路的图表征了网络的结构和拓扑，依据电路的图，可电路的图表征了网络的结构和拓扑，依据电路的图，可以写出网络的以写出网络的KCL和和KVL方程。方程。图的矩阵表示图的矩阵表示用矩阵描述图的拓扑性质，即用矩阵描述图的拓扑性质，即KCL和和KVL的矩阵形式的矩阵形式。结点结点支路支路关联矩阵关联矩阵回路回路支路支路回路矩阵回路矩阵割集割集支路支路割集矩阵割集矩阵第四页，共五十八页。1. 1. 关联矩阵关联矩阵 一条支路连接两个结点，称该支路与这两个结点相关联，一条支路连接两个结点，称该支路与这两个结点相关联，结点和支路的关联性质可以用关联矩阵结点和支路的关联性质可以用关联矩阵Aa描述。描述。N个结点个结点b b条支路的图用条支路的图用n b的矩阵描述的矩阵描述ajka ajkjk=1 =1 支路支路k与与结结点点j 关联，方向背离关联，方向背离结结点。点。a ajkjk= -1= -1 支路支路k与与结结点点j 关联，方向指向关联，方向指向结结点点a ajk jk =0=0 支路支路k与结点与结点j无关无关Aa=n b支路支路b结点结点n每一行对应一个结点，每每一行对应一个结点，每一列对应一条支路，矩阵一列对应一条支路，矩阵Aa的每一个元素定义为：的每一个元素定义为：第五页，共五十八页。例例Aa=12341 2 3 4 5 6 支支结结-1 -1 0 1 0 00 0 1 -1 -1 01 0 0 0 1 10 1 -1 0 0 -1 每一列只有两个非零元素，一个是每一列只有两个非零元素，一个是+1+1，一个是，一个是-1-1， Aa的每一列元素之和为零。的每一列元素之和为零。 矩阵中任一行可以从其他矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出，即只有行中导出，即只有n-1行是独立的。行是独立的。1 1关联矩阵关联矩阵Aa的特点：的特点：引入降阶关联矩阵引入降阶关联矩阵AA=(n-1) b支路支路b结点（结点（n-1）第六页，共五十八页。设设为参考节点为参考节点,得降阶关联矩阵得降阶关联矩阵A=1231 2 3 4 5 6 支支结结-1 -1 0 1 0 00 0 1 -1 -1 01 0 0 0 1 11 1设设为参考节点为参考节点,得降阶关联矩阵得降阶关联矩阵Aa=1241 2 3 4 5 6 支支结结-1 -1 0 1 0 00 0 1 -1 -1 00 1 -1 0 0 -1注注 给定给定A可以确定可以确定Aa，从，从而画出有向图。而画出有向图。第七页，共五十八页。引入关联矩阵引入关联矩阵A的作用：的作用：设设: :用关联矩阵用关联矩阵A表示矩阵形式的表示矩阵形式的KCL方程方程1 1-1 -1 0 1 0 00 0 1 -1 -1 01 0 0 0 1 1A i =矩阵形式的矩阵形式的KCL: A i = 0以以为参考节点为参考节点第八页，共五十八页。1 1设设: :用矩阵用矩阵AT表示矩阵形式的表示矩阵形式的KVL方程方程第九页，共五十八页。2. 2. 回路矩阵回路矩阵B1 1 支路支路j 在回路在回路i中方向一致中方向一致-1 -1 支路支路j 在回路在回路i中方向相反中方向相反0 0 支路支路j 不在回路不在回路i中中bij= 一个回路由某些支路组成，称这些支路与该回路相关联，独立一个回路由某些支路组成，称这些支路与该回路相关联，独立回路与支路的关联性质可以用回路矩阵回路与支路的关联性质可以用回路矩阵B描述。描述。B=l b支路支路b独立回路独立回路l每一行对应一个独立回路，每每一行对应一个独立回路，每一列对应一条支路，矩阵一列对应一条支路，矩阵B的的每一个元素定义为：每一个元素定义为：第十页，共五十八页。2 2。支路排列顺序为先树支后连支，。支路排列顺序为先树支后连支， 回路顺序与连支顺序一致回路顺序与连支顺序一致若独立回路选单连枝回路得基本回路矩阵若独立回路选单连枝回路得基本回路矩阵BBf f ，规定：，规定： 1 1。连支电流方向为回路电流方向。连支电流方向为回路电流方向例例取网孔为独立回路，顺时针方向取网孔为独立回路，顺时针方向1231 1123B =1 2 3 4 5 6 支支回回0 1 1 1 0 00 0 -1 0 -1 11 -1 0 0 0 -1注注 给定给定B可以画出有向图。可以画出有向图。第十一页，共五十八页。选选 4、5、6为树，连支顺序为为树，连支顺序为1、2、3。123B =4 5 6 1 2 3 支支回回1 -1 0 1 0 0 1 -1 1 0 1 0= Bt 1 0 1 -1 0 0 1BtBl1 1例例第十二页，共五十八页。设设 矩阵形式的矩阵形式的KVL： B u = 01 1引入回路矩阵引入回路矩阵B的作用：的作用：用用回路矩阵回路矩阵B表示矩阵形式的表示矩阵形式的KVL方程方程 B u =1 -1 0 1 0 0 1 -1 1 0 1 0 0 1 -1 0 0 1BtBl第十三页，共五十八页。 Bf u = 0 可写成可写成 Btut+ul=0ul= - Btut设设连支电压用树支电压表示连支电压用树支电压表示用用回路矩阵回路矩阵BT表示矩阵形式的表示矩阵形式的KCL方程方程第十四页，共五十八页。矩阵形式的矩阵形式的KCL： B T il = ib Bf= Bt 1 树支电流用连支电流表出树支电流用连支电流表出1 1第十五页，共五十八页。3. 3. 基本割集矩阵基本割集矩阵Q每一行对应一个基本割集每一行对应一个基本割集每一列对应一条支路，每一列对应一条支路，矩阵矩阵Q的的每一个元素定义为：每一个元素定义为：qij=1 1 支路支路j在割集在割集i中且与割集方向一致中且与割集方向一致-1 -1 支路支路j在割集在割集i中且与割集方向相反中且与割集方向相反 0 0 支路支路j不在割集中不在割集中 割集与支路的关联性质可以用割集矩阵描述，这割集与支路的关联性质可以用割集矩阵描述，这里主要指基本割集矩阵。里主要指基本割集矩阵。Q=(n-1) b支路支路b割集数割集数第十六页，共五十八页。规定：规定：(1)(1)割集方向为树支方向割集方向为树支方向 (2)(2)支路排列顺序先树支后连支支路排列顺序先树支后连支(3)(3)割集顺序与树支次序一致割集顺序与树支次序一致若选单树枝割集为独立割集，得基本割集矩阵若选单树枝割集为独立割集，得基本割集矩阵 Qf1 1例例选选 4、5、6支路支路为树为树Q1:1,2,4 Q2:1,2,3,5 Q3:2,3,6Q=4 5 6 1 2 3 支支割集割集Q1Q2Q31 0 0 -1 -1 0 0 1 0 1 1 -1 0 0 1 0 -1 1QlQt第十七页，共五十八页。设设矩阵形式的矩阵形式的KCL：引入基本割集矩阵引入基本割集矩阵Qf的作用：的作用：用基本用基本割集矩阵割集矩阵Qf表示矩阵形式表示矩阵形式的的KCL方程方程1 11 0 0 -1 -1 00 1 0 1 1 -10 0 1 0 -1 1 Qf ib =矩阵形式的矩阵形式的KCL： Qf ib =0第十八页，共五十八页。设树枝电压（或基本割集电压）：设树枝电压（或基本割集电压）：ut= u4 u5 u6 T用用QfT表示矩阵形式的表示矩阵形式的KVL方程方程1 1矩阵形式的矩阵形式的KVL： Qf Tut =ub第十九页，共五十八页。连支电压用树支电压表示连支电压用树支电压表示第二十页，共五十八页。QQi=0QTut=u小结：小结：ul= - BtutABKCLAi=0BTil=iKVLATun=uBu=0第二十一页，共五十八页。对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：对同一有向图，支路排列次序相同时，满足： 在任一网络的有向图中，选一个参考结点可以写出关联矩阵在任一网络的有向图中，选一个参考结点可以写出关联矩阵A，选择一树可以写出基本回路矩阵，选择一树可以写出基本回路矩阵Bf和基本割集矩阵和基本割集矩阵Qf，因此三个矩阵是从不同角度表示同一网络的连接性质，它们之间，因此三个矩阵是从不同角度表示同一网络的连接性质，它们之间自然存在着一定的关系。自然存在着一定的关系。4.4.矩阵矩阵A、Bf 、Qf 之间的关系之间的关系A与与B之间的关系之间的关系第二十二页，共五十八页。对同一有向图，任选一树，满足：对同一有向图，任选一树，满足： B与与Q之间的关系之间的关系第二十三页，共五十八页。对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝顺序写出矩阵：对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝顺序写出矩阵： A与与Q之间的关系之间的关系第二十四页，共五十八页。例例已知：已知：Bf =1 2 3 4 5 支支回回1 0 1 0 0 -1 1 0 1 0-1 0 0 0 1求基本割集矩阵，并画出网络图。求基本割集矩阵，并画出网络图。解解1 1第二十五页，共五十八页。15.3 15.3 回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式 反映元件性质的支路电压和支路电流关系的矩阵反映元件性质的支路电压和支路电流关系的矩阵形式是网络矩阵分析法的基础。形式是网络矩阵分析法的基础。 1.1.复合支路复合支路设标准支路为：设标准支路为：Z Zk k（Y Yk k）+ + +- - -特点：特点：1 12 2第二十六页，共五十八页。3 3注注 复合支路只是定义了一条支路最多可以包含的不同元件数复合支路只是定义了一条支路最多可以包含的不同元件数及连接方法，但允许缺少某些元件。及连接方法，但允许缺少某些元件。Z Zk k（Y Yk k）Z Zk k（Y Yk k）+ +- -第二十七页，共五十八页。+ +- -Z Zk k（Y Yk k）Z Zk k（Y Yk k）=0=0+ +- -第二十八页，共五十八页。2.2.阻抗矩阵形式阻抗矩阵形式 应用应用KCL和和KVL可以可以写出用阻抗表示的写出用阻抗表示的k k支路电压、电支路电压、电流关系方程：流关系方程：Z Zk k（Y Yk k）+ + +- - -如有如有b条支路，则有：条支路，则有：第二十九页，共五十八页。设设Y=diagY1Y2Yb支路电流列向量支路电流列向量支路电压列向量支路电压列向量电压源的电压列向量电压源的电压列向量电流元的电流列向量电流元的电流列向量第三十页，共五十八页。整个网络的支路电压、电流关系矩阵：整个网络的支路电压、电流关系矩阵：Z=diagZ1Z2ZbT第三十一页，共五十八页。写出图示电路支路电压、写出图示电路支路电压、电流关系矩阵：电流关系矩阵：例例 +R1R51/j Cj L2R6234 -j L311 12 23 34 45 56 6解解第三十二页，共五十八页。*M+ +- - -+ +3.3.有互感时的阻抗矩阵形式有互感时的阻抗矩阵形式第三十三页，共五十八页。第三十四页，共五十八页。一般情况一般情况jLm- -MmnjLn- -+电电压压电流电流第三十五页，共五十八页。4.4.有电流控制的电压源时的阻抗矩阵形式有电流控制的电压源时的阻抗矩阵形式例例 +R1R51/j Cj L2R6234 -j L31M第三十六页，共五十八页。2.2.回路矩阵分析法回路矩阵分析法Z Zk k（Y Yk k）+ + +- - -用阻抗表示的支路方程：用阻抗表示的支路方程：第三十七页，共五十八页。回路电压源向量回路电压源向量回路阻抗阵，主对角线元素为自回路阻抗阵，主对角线元素为自阻抗，其余元素为互阻抗。阻抗，其余元素为互阻抗。回路矩阵方程回路矩阵方程第三十八页，共五十八页。