一元一次不等式（组）一、重点难点提示重点：理解一元一次不等式组的概念及解集的概念。难点：一元一次不等式组的解集含义的理解及一元一次不等式组的几个基本类型解集的确定。二、学习指导：1、几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。但这“几个一元一次不等式”必须含有同一个未知数，否则就不是一元一次不等式组了。2、前面学习过的二元一次方程组是由二个一次方程联立而成，在解方程组时， 两个方程不是独立存在的（代入法和加减法本身就说明了这点）；而一元一次不等式组中几个不等式却是独立的，而且组成不等式组的不等式的个数可以是三个或多个。（课本上主要学习由两个一元一次不等式组成的不等式组）。3、在不等式组中， 几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集。（注意借助于数轴找公共解）4、一元一次不等式组的基本类型（以两个不等式组成的不等式组为例）类型（设 ab）不等式组的解集数轴表示1）（同大型，同大取大）xa2）（同小型，同小取小） x 3）（一大一小型，小大之间）b （1）分别解不等式组的每解不等式 (2) 得 x4一个不等式 （2）求组的解集（借助数轴找公共部分）（利用数轴确定不等式组的解集） 原不等式组的解集为X4（3）写出不等式组解集 （4）将解集标在数轴上名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 33 页 - - - - - - - - - 例2. 解不等式组解：解不等式(1) 得 x-1, 解不等式 (2) 得 x1, 解不等式 (3) 得 x2, 在数轴上表示出各个解为： 原不等式组解集为-1X1 注意：借助数轴找公共解时，应选图中阴影部分，解集应用小于号连接，由小到大排列，解集不包括 -1 而包括 1 在内，找公共解的图为图（1），若标出解集应按图（2）来画。例3.解不等式组解：解不等式(1) 得 x-1, 解不等式 (2), |x| 5, - 5x5, 将 (3)(4)解在数轴上表示出来如图，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 33 页 - - - - - - - - - 原不等式组解集为-1X5. 四、一元一次不等式组的应用。例4. 求不等式组的正整数解。步骤：解：解不等式3x-24x-5得： x3, 1、先求出不等式组解不等式1得 x2, 的解集。 2、在解集中找出它所要求的特殊解， 原不等式组解集为x2, 正整数解。 这个不等式组的正整数解1、2。例5 m 为何整数时，方程组的解是非负数？分析：本题综合性较强，注意审题，理解方程组解为非负数概念，即。先解方程组用m的代数式表示x, y, 再运用“转化思想”，依据方程组的解集为非负数的条件列出不等式组寻求m的取值范围，最后切勿忘记确定m的整数值。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 33 页 - - - - - - - - - 解：解方程组得 方程组的解是非负数， 即解不等式组 此不等式组解集为m , 又 m为整数， m=3或 m=4 。例6解不等式0. 分析： 由“”这部分可看成二个数的“商”此题转化为求商为负数的问题。两个数的商为负数这两个数异号，进行分类讨论， 可有两种情况。 (1) 或(2) 因此，本题可转化为解两个不等式组。解： 0, (1) 或 (2) 由 (1) 无解，由(2) - Xv:shapes= _x0000_i 1064 u1:shapes= _x0000_i 1069 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 33 页 - - - - - - - - - align= absMiddle width= 16 height= 41 , 原不等式的解为- X v:shapes=_x0000_i1066 u1:shapes=_x0000_i1071 align=absMiddle width=16 height=41 . 例 7.解不等式 -33x -15. 解法（ 1）: 原不等式相当于不等式组解不等式组得- x2， 原不等式解集为- x2. 解法（ 2）: 将原不等式的两边和中间都加上1，得 -23x 6, 将这个不等式的两边和中间都除以3 得，- x2, 原不等式解集为- x2. 例 8.x取哪些整数时，代数式与代数式的差不小于6 而小于 8。分析：(1) “不小于6”即6, (2) 由题意转化成不等式问题解决，解：由题意可得，6 - - , 原不等式组解集为- X6, - X 6 的整数解为x=3, 2, 1, 0, 4, 5, 6. 当 x 取3，2，1，0，4，5，6 时两个代数式差不小于6 而小于 8。例 9. 有一个两位数，它十位上的数比个位上的数小2，如果这个两位数大于20 并且小于 40，求这个两位数。分析：这题是一个数字应用题，题目中既含有相等关系，又含有不等关系，需运用不等式的知识来解决。题目中有两个主要未知数-十位上的数字与个位上的数；一个相等关系： 个位上的数 =十位上的数+2, 一个不等关系： 20原两位数 40。解法（ 1）: 设十位上的数为x, 则个位上的数为(x+2), 原两位数为10 x+(x+2), 由题意可得： 2010 x+(x+2)40, 解这个不等式得，1 X, x 为正整数， 1 X的整数为 x=2 或 x=3， 当 x=2 时， 10 x+(x+2)=24, 当 x=3 时， 10 x+(x+2)=35, 答：这个两位数为24 或 35。解法（ 2）: 设十位上的数为x, 个位上的数为y, 则两位数为10 x+y, 由题意可得（这是由一个方程和一个不等式构成的整体，既不是方程组也不是不等式组，通常叫做“混合组”）。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 33 页 - - - - - - - - - 将(1) 代入(2) 得， 2011x+240, 解不等式得： 1 X, x 为正整数， 1 X的整数为 x=2 或 x=3, 当 x=2 时，y=4， 10 x+y=24, 当 x=3 时，y=5, 10 x+y=35. 答：这个两位数为24 或 35。解法（ 3）: 可通过“心算”直接求解。方法如下：既然这个两位数大于20 且小于 40，所以它十位上的数只能是 2 或 3。当十位数为2 时，个位数为4，当十位数为3 时，个位数为5，所以原两位数分别为24或 35。例 10. 解下列不等式：(1)| | 4;(2) 0. （1）分析：这个不等式不是一元一次不等式，因此，不能用解一元一次不等式的方法来解。但由绝对值的知识 |x|0)可知-aX将其转化为；若 |x|a, (a0)则 xa 或 x-a. 解： | | 4, - 4 4, 由绝对值的定义可转化为：即解不等式 (1) ，去分母： 3x- 1 -8, 解不等式 (2) 去分母： 3x- 18, 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 33 页 - - - - - - - - - 移项：3x -8+1,移项：3x8+1, 合并同类项： 3x -7合并同类项： 3x9, 系数化为 1， x- , 系数化为 1： x 3, ， 原不等式的解集为- x3. （2）分析：不等式的左边为是两个一次式的比的形式（也是以后要讲的分式形式），右边是零。它可以理解成“当x 取什么值时，两个一次式的商是负数？”由除法的符号法则可知，只要被除式与除式异号，商就为负值。因此这个不等式的求解问题，可以转化为解一元一次不等式组的问题。解： 0, 3x -6 与 2x+1 异号，即： I 或 II 解 I 的不等式组得, 不等式组无解，解 II的不等式组得, 不等式组的解集为- X 原不等式的解集为- 0, (3x -6) 与(2x+1) 同号，即 I 或 II 解 I 的不等式组得, 不等式组的解集为x2, 解 II的不等式组得, 不等式组的解集为x2 或 x0( 或0) 与 ab0（或0(或0), a、b 同号，即 I 或 II , 再分别解不等式组I 和 II ，如例 10 的（ 3）题。（2）ab0（或0）, ab0( 或0), a、b 异号，即 I 或 II , 再分别解不等式组I 和不等式组II 。例 11. 已知整数 x 满足不等式 3x- 46x -2 和不等式-1 , 并且满足方程3(x+a)=5a-2名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 33 页 - - - - - - - - - 试求代数式 5a3- 的值。分析：同时满足两个不等式的解的x 值实际是将这两个不等式组成不等式组，这个不等式组的解集中的整数为 x 值。再将 x 值代入方程3(x+a)=5a-2 ，转化成 a 的方程求出a 值，再将 a 代入代数式5a3- 即可。解： 整数 x 满足 3x- 4 6x-2 和-1 , x 为，解集的整数值，解不等式 (1) ，得 x- , 解不等式 (2) 得， x1, 的解集为 - x1. - x3 B、不等式组的解集是 -3X-2 C、不等式组的解集是x-1 D、不等式组的解集是 -4X2不等式组的解集是（） A、x1 B、x3 C、x3 D、1X3不等式组的解集是（） A、x1 C、x8 B、m 8 C、m2 B、x1 C、x2 D、x1或 x2答案与解析答案： 1、D 2 、D 3 、D 4 、C 5 、C 解析：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 33 页 - - - - - - - - - 2. 分析：由（ 1）得 x1 1X3. 分析：先解不等式，看是否有解，由（1）得 x2，两者无公共部分，所以选 D。答案： D 5. 因 x-1 与 x-2 的值的符号相同，所以或可求得 x2 或 x0 或 ax+bb 或 axB ，其中 x 是未知数， a、 b 是已知数且a0。2一元一次不等式的解法步骤与解一元一次方程类似，基本思想是化为最简形式（axb 或axB a0）后，再把系数化为1。应特别注意的是，当不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向必须改变中考典例: 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 33 页 - - - - - - - - - 1（安徽省）解不等式(x1)1 ，并把它的解集在数轴上表示出来考点：一元一次不等式的解法评析：一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法相类似，只要注意不等式性质3 的运用该题可先去分母（不要漏乘），再去括号，然后化成axb 或 axB的形式 , 最后得出解集，解题过程如下：解：原不等式化为：x22(x1)2 x