1.5 一元二次不等式解法【基础知识精讲】1. 一元二次不等式(1) 一元二次不等式经过变形，可以化成如下标准形式：ax2+bx+c0(a 0); ax2+bx+c0(a0). 2. 一元二次函数的图像、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集对比表二次函数情况一元二次方程一元二次不等式y=ax2+bx+c(a 0) =b2-4ac ax2+bx+c=0(a 0) ax2+bx+c0(a 0) ax2+bx+c0(a 0) 图像与解 0 x1=ab2x2=ab2不等式解集为xxx1或 xx2不等式解集为xx1xx2 =0 x1=x2=x0=ab2不等式解集 xxx0,x R 解集为 0 方程无解不等式解集为R(一切实数 ) 解集为a0 的情况自己完成3. 一元 n 次不等式(x-a1)(x-a2)(x -an) 0, (x-a1)(x-a2)(x -an) 0，其中 a1a2 an. 把 a1,a2,an按大小顺序标在数轴上，则不等式的解的区间如图所示：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 4. 分式不等式0)()()()(0)()()()(21212121mnmnbxbxbxaxaxaxbxbxbxaxaxax (ia,bj互不相等 ) 把 a1,a2,an和 b1,b2，bm按照从小到大的顺序标在数轴上，该分式不等式的解的区间的情况与(3)中所述类似，分n+m为奇数或偶数在数轴上表示. 综合可知，一元二次不等式的解法充分运用了“函数与方程”，“数形结合”及“化归”的数学思想，一元二次方程ax2+bx+c=0 的根就是使二次函数y=ax2+bx+c 的函数值为零时对应的x 值，一元二次不等式ax2+bx+c0，ax2+bx+c0 的解就是使二次函数y=ax2+bx+c 的函数值大于零或小于零时x 的取值范围，因此解一元二次方程ax2+bx+c0，ax2+bx+c0 一般要画与之对应的二次函数y=ax2+bx+c 的图像 . 【重点难点解析】本小节重点是一元二次不等式的解法，难点是一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系及运用一元二次不等式解决某些应用问题。例 1解下列关于x 的不等式：(1)2x+3-x20; (2)x(x+2)-1x(3 -x); (3)x2-23x+30; (4)x2+6(x+3) 3; 分析解一元二次不等式一般步骤是：化为标准形式； 确定判别式 =b2-4ac 的符号；若 0，则求出该不等式对应的二次方程的根；若0，则对应二次方程无根；联系二次函数的图像得出不等式的解集 . 特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集( 在两根之内或两根之外 ). 解： (1) 原不等式可化为x2-2x-3 0, (x-3)(x+1)0. 不等式的解集为x-1 x3. (2) 原不等式可化为2x2-x- 20,(2x+1)(x-1)0. 不等式的解集为xx -21，或 x1 . (3) 原不等式可化为名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - (x-3)20. 不等式的解集为xxR 且 x3. (4) 原不等式可化为x2+6x+150. 0，方程 x2+6x+15=0 无实根， 不等式的解集为R. 评析熟练掌握一元二次方程、二次函数、 一元二次不等式三者之间的关系，再加上熟练地分解因式、配方技能，解一元二次不等式就能得心应手. 例 2解不等式32732xxx2.解： 原不等式可化为32732xxx- 20,即为321222xxxx0，分子、分母必须同号， 即可化为,032,0)32)(12(222xxxxxx由于-2x2-x-1 恒为负值，不等式除以(-2x2-x-1) 得,032,03222xxxx即 x2+2x-3 0，即 (x+3)(x-1)0. 解之得 -3x1. 原不等式的解集为x-3x1. 遇到分式不等式，一般应化为右边为零的形式，即化为)()(xgxf0，然后转化为.0)(, 0)()(xgxgxf( 当分式不等式的分母恒为正( 或为负 ) 时，可以去分母，如1212xxx0 x-10 且1x) 例 3若函数 f(x)=ax2+bx+c(a 0) 对任意的实数t, 都有 f(2+t)=f(2-t)， 下列不等式成立的是( ) A.f(1)f(2) f(4) B.f(2)f(1)f(4) C.f(2)f(4) f(1) D.f(4)f(2)f(1) 分析由条件知 x=2 为对称轴， f(2) 最小， f(1)=f(3)，函数在 (2 ，+)上为增函数，故选B. 评析熟记结论：对f(x) 若恒有 f(a+x)=f(a-x)成立，则函数的图像关于直线x=a 对称 . 例 4已知不等式 ax2+bx+20 的解为 -21x31，求 a，b 值. 解： 方法一：显然a0，由 (x+21)(x-31)0，得 6x2+x-1 0，变形得 -12x2-2x+2 0，故 a=-12,b=-2. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 方法二： x=-21与 x=31是 ax2+bx+2=0 的两根，故有02390224baba解得212ba评析这里应注意韦达定理的应用. 【难解巧解点拨】例 1若p1x2+qx+q0 的解集是 x2x4，求实数p、q 的值 . 分析在本题中，已知不等式的解集，要求确定其系数，这和解不等式的问题( 已知系数求其解集)正好是互为逆向的两类问题. 这类问题可以用下面的方法来解. 先作出一个解集符合要求的不等式；根据不等式同解的要求，确定其系数的数值. 解： 不等式 (x-2)(x-4)0 的解集为x2x4. 即为 x2-6x+80. 即-x2+6x-8 0. 这与题中要求的不等式p1x2+qx+p0 是同解且同向的二次不等式. 其对应的系数成比例，且比值为正数( 即二次项系数之值同号). 11p=6q=8p0 解得 p=-22,q=223. 说明利用上法确定不等式系数时，必须注意： 将两不等式化为同向不等式同向二次不等式的二次项系数同号，否则就会产生错误. 例 2设 A=x-2x-1, 或 x1， B=xx2+ax+b0，已知A B= xx-2，A B=x-1 x3，试求a,b 的值 . 分析在本题求解时要正确利用图形进行分析. 解： 如图所示，设B=xx 设想集合 B所表示的范围在数轴上移动，显然当且仅当B “覆盖”住集合 x- 1x3， 才能使 A B=x-1 x3“ -1 且 1”，并且 -1 及 =3. =-1, =3. 因此 B= x- 1x3 ，根据二次不等式与二次方程的关系，可知 -1 与 3 是方程 x2+ax+b=0 的两根 . a=-(-1+3)=-2,b=(-1)3=-3. 说明类似问题一定要借助数轴上的区间来考虑. 同时要认真考查端点情况. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 例 3已知 f(x)=x2+2(a-2)x+4. (1) 如果对一切xR ， f(x) 0 恒成立，求实数a 的取值范围 . (2) 如果对 x -3，1， f(x) 0 成立，求实数a 的取值范围 . 解： f(x)的图像开口向上 . (1) 对一切实数x，f(x) 0，则 0，即 (a-2)2-4 0，0 a4；(2) 当 x -3 ，1时， f(x) 0，对称轴 2-a 可在区间内，也可在区间外，.0)3(f, 3a2或.0)1(f, 1a2或.0)a2(f, 1a23解得 -21 a4 评析函数 f(x) 在给定区间上f(x) 0( 或 f(x) 0)f(x) 在该区间上的最小(或最大 ) 值大于 ( 或小于 ) 零. 只有深刻理解了二次函数在给定区间上的最值意义，才能正确处理函数的局部性质与整体性质的关系 . 【课本难题解答】课本第 22 页习题 1.5 第 8 题解： 原不等式可化为 (3x-4)(2x+5)0 x -25或 x34所以解集为 xx-25或 x34解： 原不等式可化为(2x-15)(5x+2)0 或 x=215 -52x215或 x=215即-52x215所以解集为 x-52x215【命题趋势分析】一元一次不等式，一元二次不等式是最简单的不等式. 历年高考中，都涉及到解不等式的题目，对解有理不等式、无理不等式，解指数和对数不等式，解绝对值不等式都进行了考查，而解这些类型的不等式最终都要转化成一元一次不等式(组) 或一元二次不等式( 组) 来解 . 平时要求学生熟练掌握一元二次不等式( 组) 的解，并能灵活应用. 【典型热点考题】例 1不等式312xx1 解集是 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 分析解不等式一般将一边变为零再处理解： 将312xx1 变形为312xx-1 0，通分得3x4x0 即解： (x-4)(x+3)0 解得 x-3 或 x4 应填： x-3 或 x4 注意本题属bxax0 型不等式，解此类问题一般是运用等价转化的思想将其转化为一元二次不等式来解或一元一次不等式组来解. 例 2设全集为 R，A=xx2-5x-6 0，B=x x-5 a(a 是常数 )，且 11B ，则 ( ) A.CRA B=RB.ACRB=R C.CRA CRB=R D.AB=R分析本题考查二次不等式和绝对值不等式的解法，集合间的关系，先需分别解出集合A 、B，再根据 11B 这一条件确定a 值范围，最后在数轴上判断集合间并集结果。解： A= xx2-5x-6 0=x(x-6)(x+1)0=xx-1 或 x6B=xx-5 a=x-a x-5 a=x5-ax5+a. 11B 5+a11 a6 从而 5-a -1. 由数轴图可看出， A B=R. 应选D. 注意 (1)本题主要考查一元二次不等式，含绝对值不等式的解法，以及集合关系( 并集、补集 ). (2) 作出数轴图，将抽象的字母和数字在数轴上表示出来，进行比较，由此判定出结果，是我们解此类问题常采用的方法. 例 3不等式 x2-3x 4 的解集是 . 解： x2-3x 4 x2-3x -4 或 x2-3x 4 即 x2-3x+4 0 或x2-3x-4 0由可化为 (x-23)2+470，显然解为. 由可化为 (x+1)(x-4)0，得解为 x-1 或 x4. 应填： xx-1 或 x4. 注意 (1)本题主要考查含有绝对值不等式和一元二次不等式的解法.(2) 将含有绝对值不等式转化为一元二次不等式来解，是解好本题的关键. 例 4公园要建造一个圆形喷水池. 在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ，O恰在水面中心，OA=1.25 米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过 OA的任一平面上抛物线路径如下左图所示.为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA距离为 1 米处达到距水平最大高度为2.25 米，如果不计其他因素，那么水池半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致