精品资料欢迎下载一元二次方程教材分析新墩中心学校一. 本章内容分析本章主要介绍了一元二次方程及有关概念,一元二次方程的解法,运用一元二次方程分析和解决实际问题。其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容。方程是科学研究中重要的数学思想方法,也是后续内容学习的基础和工具,本章是对一元一次方程知识的延续和深化,同时为二次函数的学习作好准备. 数学建模思想的教学在本章得到进一步渗透和巩固. 二. 课时安排：2.1 花边有多宽2 课时2.2 配方法3 课时2.3 公式法2 课时2.4 分解因式法2 课时2.5 为什么是 0.618 2 课时回顾与思考2 课时四. 单元内容分析2.1 花边有多宽本小节分两课时 , 以实际问题为背景 , 引出一元二次方程的概念, 归纳出一元二次方程的一般形式, 给出一元二次方程根的概念。教学目标 ：(1) 通过实际问题了解一元二次方程的定义及一般形式； (2)会将一个整式方程化为一元二次方程的一般形式，并能指出二次项及二次项系数、一次项及一次项系数和常数项。教学重点 : 一元二次方程及有关概念的理解. 教学难点 : 准确的化为一元二次方程的一般式. 学法点拨 ：一元二次方程的定义 , 书中以未知数的个数和次数为标准, 用文字叙述形式给出的 . 三、本章知识结构图名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载理解一元二次方程的定义关键注意三点：整式、一个未知数、最高次数为 2。对一元二次方程理解时，一定注意“a0”这一条件。把一个方程化为一般形式时应用了解一元一次方程的变形方法：去分母- 去括号 - 移项- 合并同类项。注意: 当 a 是负值时，一般转化为正数； 多 给 出b=0 或 c=0 或b、 c 同 时 为 0 的 例 子 。 如 ：x2=0,x2-1=0,2x2-x=0. 会用“带入检验”的方法判断简单的一元二次方程得根。易错点 ：1) 判断方程是否为一元二次方程时，忽略二次项系数不为“0”. 如：下列关于 x 的方程中，是一元二次方程的有- ax2+bx+c = 0 x2+ 3x -5=0 2x2-x-3 = 0 x2-2+x3 = 0 2)注意本小节在学习概念时，注意联系实际，加深对概念的理解与应用，避免就概念理解概念。如：已知关于 x 的方程（ m-n）x2 +mx+n=0 ，(m0), 你认为：当 m和 n 满足什么关系时，该方程为一元二次方程？当 m和 n 满足什么关系时，该方程为一元一次方程？3) 没有化成一般形式，混淆a、b、c. 2224 解一元二次方程配方法、公式法和因式分解法是一元二次方的基本解法，解二次方程的基本策略是将其转化为一元一次方程降次。本单元首先通过简单的一元二次方程，引导学生认识直接开平方法解方程；然后讨论比较复杂的一元二次方程，通过对比已变为完全平方式的方程， 使学生认识配方法的基本原理并掌握其具体方法；以配方法为基础推导一元二次方程的求根公式，于是得到公式法。 最后讨论因式分解法。知识学习时，注意对相关知识的复习、联系，多鼓励学生应用不同的解法发表自己的意见， 体会数学思想方法的作用， 逐步养成主动探究和应用的习惯。1. 教学目标 ：理解和掌握一元二次方程的三种解法：配方法、公式法、因式分解法。教学重点 ：一元二次方程的解法。教学难点 ：选择合适的解法。2. 课时安排 ：本单元是本章的重点， 书中安排是 6 课时，可以适当的增加课时或利用加课时间。（1）配方法（直接开平方法1 课时） ：初二已学过平方根和算术平方根，学生见过此类型，当时只是求值，没有提到过一元二次方程，现在变成他的正规解法。教学时，计划由浅入深的安排一下类型题： x2=a (a 0) bx2=a (a 、b 同号， b0) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载 （x-b）2=a (a 0) m(x-b)2=a (a 、m同号,m0) m(nx-b)2=a (a 、m同号,m、n0) （2）配方法（ 2 课时） ：配方法在数学中成为一种很重要的数学变形，它隐含了创造条件实现化归的思想，这种思想对培养学生的数学能力影响很大。在教学中，对配方法和划归思想应充分重视，引导学生理解这种方法的道理，结合道理去记忆配方的具体步骤。配方不仅是解一元二次方程的一种基本解法，而且初三学习二次函数等其他数学概念时也会用到，所以在这里应重点讲解。第一课时：安排a=1 的情况 , 主要掌握配方的方法：方程两边加一次项系数一半的平方。注意：如 x2-4x-1=0 中，一次项系数为负数时易出错。第二课时：安排 a1 的情况，总结出配方法的步骤： 方程两边除以二次项系数，把方程化为二次项系数为1 的类型； 方程两边加一次项系数一半的平方，配成完全平方式；直接开平方； 写出结果。（3）公式法（ 2 课时）推导求根公式时，特别给出条件“当b2-4ac 0 时” 。教学中应当使学生认识到这一条件是根据（ x+b/2a）2非负而产生的，如果b2-4ac 0, 就有（ x+b/2a）2 0. 这在实数范围是不可能的。因此，这里要约定b2-4ac 0. 得出求根公式后，可知方程 ax2+bx+c=0(a0)根是由系数 a、b、c 所确定的。 教科书中没有提出判别式的名称，但在公式法之后进行了归纳，总结了b2-4ac 值的三种情况和他们对应的一元二次方程根的三种情况：有两个不等的实数根； 有两个相等的实数根；合称为由实数根，没有实数根，但不能说没有根，这时方程的根是虚根。教学时总结出公式法解题的一般步骤： 化为一般式； 指出 a、b、c，带符号； 写出求根公式； 代入求解。（4）因式分解法（ 2 课时）第一课时，主要练提公因式法、公式法分解因式解方程。第二课时，练习十字相乘法分解因式解方程。（5）习题课（ 1 课时）选择适当的方法解一元二次方程。3. 学法点拨：公式法、配方法是对于任何一元二次方程都适用的方法，每个学生必须掌握，但解题时应先考虑因式分解法，但当方程符合 ax2=c(a、c 同号，a0)时，可用直接开平方法解方程。解一元二次方程时，要根据方程实际，灵活选择适当的方法。对于一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a0), 当 b2-4ac0 时，可用公式法，一定要注意b2-4ac 的取值问题。配方法要先配方再降次；“配方法” 不仅应用在一元二次方程中，注意配方这种方法在其他方面的应用。因式分解法要先使方程的一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载别使各一次因式为0。配方法和公式法适用于所有的一元二次方程，因式分解法应用时要观察方程的特点，灵活选择方法。4. 易错点（1） 因式分解法没注意方程没有写成A*B=0形式。如，解方程（ x-1 ）(x-3)=8, 误解为 x1=1, x2=3. (2) 用公式法解方程时， 没有化为一般式， 造成符号错误或混淆a、b、c。如，解方程 x2-4x=2，误认为 a=1,b=4,c=2. (3) 丢根。如，解方程3(x+2)=x2+2x,两边同时除以 (x+2), 得 x=3. 2.5 为什么是 0.618 结合实际问题，分别讨论传播问题、增长率问题、几何图形面积问题、匀变速运动问题。 本节的重点是分析实际问题中的数量关系并以方程的形式进行表示。体现了数学建模思想的“螺旋式上升，不断深化”的理念。1. 教学目标 ：通过列一元二次方程解决实际问题，是学生精历“从实践问题中抽象出数学模型，并回到实际问题中揭示和检验”的过程，从而进一步提高分析文题、解决问题的能力，增强学数学、用数学的意识。教学重点 ：进一步反映一元二次方程与实际问题的密切联系，再次体现数学建模思想，加强培养运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力。教学难点 ：正确建立一元二次方程。突破难点的关键：弄清问题背景，把有关数量关系分析透彻，特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系。2. 学法点拨：列一元二次方程解应用题的一般步骤为：审、设、列、解、验、答。具体过程：（1）审题，找等量关系； - 关键（2）设未知数； - 注意单位（3）列方程；（4）解方程；（5）检验； -注意是否符合实际意义（6）写出答案；（7）答。增长率问题常用公式 a(1 x)2=b ，a 为原数，b 为增长或降低后的数 （即现在的数），x 为增长率或降低率， 2 表示两次增长或降低。 3. 易错点审题不清，误解题意，不能正确地找出等量关系；解方程后未经检验就盲目作答。检查方程两根是否符合实际意义，尤其当两根都是正数的情况。 比如方程两根都是正数， 但他们并不都适合问题的解。 必须根据它们的值的大小来确定哪个合乎实际。这种取舍更多的要考虑问题的实际意义，教学中应注意培养学生将数学知识与实际问题相结合的能力。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -