学习资料欢迎下载一元二次方程基础知识1、 一元二次方程方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2 的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如axbxca200（）的一般形式， 我们把这样的方程叫一元二次方程。其中axbxc2，分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a、b 分别是二次项和一次项的系数。如：24102xx满足一般形式axbxca200（），2412xx，分别是二次项、一次项和常数项，2， 4 分别是二次项和一次项系数。注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。2. 一元二次方程求根方法（1）直接开平方法形如xmm20（）的方程都可以用开平方的方法写成xm，求出它的解， 这种解法称为直接开平方法。（2）配方法通过配方将原方程转化为()xnmm20（）的方程，再用直接开平方法求解。配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。配方应注意：当二次项系数为1 时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1，只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。（3）公式法求根公式：方程axbxca200（）的求根公式xbbacabac224240（）步骤：1）把方程整理为一般形式：axbxca200（），确定 a、b、 c。2）计算式子bac24的值。3）当bac240时，把 a、b 和bac24的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。（4）因式分解法把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。3、一元二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到2224()24bbacxaa，显然只有当240bac时，才能直接开名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 34 页 - - - - - - - - - 学习资料欢迎下载平方得：22424bbacxaa也就是说，一元二次方程20(0)axbxca只有当系数a、b、c满足条件240bac时才有实数根这里24bac叫做一元二次方程根的判别式4、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)axbxca的根由其系数a、b、c确定，它的根的情况（是否有实数根）由24bac确定设一元二次方程为20(0)axbxca，其根的判别式为：24bac则0方程20(0)axbxca有两个不相等的实数根21,242bbacxa0方程20(0)axbxca有两个相等的实数根122bxxa0方程20(0)axbxca没有实数根若a，b，c为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根；若为完全平方式，同时24bbac是2a的整数倍，则方程的根为整数根说明：用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，0；有两个相等的实数根时，0；没有实数根时，0在解一元二次方程时，一般情况下， 首先要运用根的判别式24bac判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）当240bac时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点；当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点5、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：运用判别式，判定方程实数根的个数；利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题6、韦达定理如果20(0)axbxca的两根是1x，2x，则12bxxa ，12cx xa （隐含的条件：0）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1 时，设1x，2x是方程20 xpxq的两个根，则12xxp，12xxq7、韦达定理的逆定理以两个数1x，2x为根的一元二次方程（二次项系数为1）是21212()0 xxxxx x名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 34 页 - - - - - - - - - 学习资料欢迎下载一般地， 如果有两个数1x，2x满足12bxxa，12cx xa，那么1x，2x必定是20(0)axbxca的两个根8、韦达定理与根的符号关系在24bac 0的条件下，我们有如下结论：当0ca时，方程的两根必一正一负若0ba，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0ba，则此方程的正根小于负根的绝对值当0ca时，方程的两根同正或同负若0ba，则此方程的两根均为正根；若0ba，则此方程的两根均为负根更一般的结论是：若1x，2x是20(0)axbxca的两根（其中12xx） ，且m为实数，当0时，一般地：121()()0 xmxmxm，2xm12()()0 xmxm且12()()0 xmxm1xm，2xm12()()0 xmxm且12()()0 xmxm1xm，2xm特殊地：当0m时，上述就转化为20(0)axbxca有两异根、两正根、两负根的条件其他有用结论：若有理系数一元二次方程有一根ab，则必有一根ab（a，b为有理数）若0ac，则方程20(0)axbxca必有实数根若0ac，方程20(0)axbxca不一定有实数根若0abc，则20(0)axbxca必有一根1x若0abc，则20(0)axbxca必有一根1x9、韦达定理的应用已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；已知方程的两根，求作方程；结合根的判别式，讨论根的符号特征；逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的一些考试中，往往利用这一点设置陷阱10、整数根问题对于一元二次方程20axbxc(0)a的实根情况，可以用判别式24bac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质方程有整数根的条件：如果一元二次方程20axbxc(0)a有整数根，那么必然同时满足以下条件：24bac为完全平方数；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 34 页 - - - - - - - - - 学习资料欢迎下载242bbacak或242bbacak，其中k为整数以上两个条件必须同时满足，缺一不可另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a、b、c均为有理数 )11、一元二次方程的应用1求代数式的值；2. 可化为一元二次方程的分式方程。步骤：1）去分母，化分式方程为整式方程（一元二次方程）。2）解一元二次方程。3）检验 3. 列方程解应用题步骤：审、设、列、解、验、答夯实基础例 1 把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数，一次项系数和常数项。（1）272yy（2）21202xx（3）()()xx550（4）()()51 2152yyy（5）()mxnmxx2210（ 是未知数）例 2已知关于x的方程22(2)1axaxx是一元二次方程，求a的取值范围板块一一元二次方程的定义名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 34 页 - - - - - - - - - 学习资料欢迎下载例 3 若一元二次方程222(2)3(15)40mxmxm的常数项为零，则m的值为 _能力提升例 4 关于 x 的方程k xkx22211()是什么方程？它的各项系数分别是什么？例 5 已知方程2240abxxx是关于x的一元二次方程，求a、 b 的值例 6 若方程（ m-1） x2+ x=1 是关于 x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A m 1Bm 0Cm 0且 m 1Dm 为任何实数培优训练例 7m为何值时，关于x的方程2(2)(3)4mmxmxm 是一元二次方程例 8 已知方程 20a ba bxxab是关于x的一元二次方程，求a、 b 的值例 9 关于 x 的方程（ m+3）xm2-7+（ m-3） x+2=0 是一元二次方程，则m 的值为解：该方程为一元二次方程，m2-7=2，解得m= 3；当m=-3时m+3=0，则方程的二次项系数是0，不符合题意；所以 m=3名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 34 页 - - - - - - - - - 学习资料欢迎下载例 10（2000?兰州）关于x 的方程（ m2-m-2）x2+mx+1=0 是一元二次方程的条件是（）A m -1Bm 2C m -1 或 m 2D m -1 且 m 2课后练习1、 m 为何值时，关于x 的方程2(2)(3)4mmxmxm 是一元二次方程2、已知关于x 的方程22(2)1axaxx是一元二次方程，求a 的取值范围3、已知关于x 的方程22()(2)xaax是一元二次方程，求a 的取值范围4、若2310a ba bxx是关于 x 的一元二次方程，求a、 b 的值5、若一元二次方程222(2)3(15)40mxmxm的常数项为零，则m 的值为 _夯实基础例 1、 （2012?鄂尔多斯）若a 是方程 2x2-x-3=0 的一个解，则6a2-3a 的值为（）A3 B-3 C9 D-9解：若a是方程2x2-x-3=0的一个根，则有2a2-a-3=0，变形得，2a2-a=3，故 6a2-3a=3 3=9故选 C例 2（2011 ? 哈尔滨）若x=2 是关于 x 的一元二次方程x2-mx+8=0的一个解则m 的值是（）板块二一元二次方程的解与解法名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 34 页 - - - - - - - - - 学习资料欢迎下载A6 B5 C2 D-6 解：把 x=2代入方程得：4-2m+8=0 ，解得 m=6故选 A 例 3 用直接开平方法解下列方程（1）3902x（ 2）()x2302（3）2 31182()x(4)22(31)85x(5)2269(52 )xxx(6)23(1)27x例 4 先配方，再开平方解下列方程（1）xx2440（2）2102yy（ 3）2372xx(4) 211063xx(5) 2312 3yy(6) 2250 xx例 5 用公式法解下列方程（1）xx2320（2）2122xx（3）()xx132名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 34 页 - - - - - - - - - 学习资料欢迎下载(4)(5)(7)1xx(5)1(61)432(2)2xxxx(6)210 xx例 6 用因式分解法解下列方程（1）23302xx（2）24545002xx（3）tt22 220(4)2(23)2(3