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学习必备欢迎下载第十一讲 - 一元二次不等式的解集知识要点1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。不等式的 基本性质 有:(1)对称性: abbb,bc,则 ac;(3)可加性: aba+cb+c;(4)可乘性: ab,当 c0时,acbc;当 c0时, acb,cd,则 a+cb+d;(2)异向相减:ba,dcdbca. (3)正数同向相乘:若ab0,cd0,则 acbd。(4)乘方法则:若 ab0,nN+,则nnba;(5)开方法则:若 ab0,nN+,则nnba;(6)倒数法则:若 ab0,ab,则b1a1。例 1、若 abb2a3b31,其中正确的有()A1 个B2 个C3 个D4 个2、一元二次不等式的解法:解不等式是寻找使不等式成立的充要条件,因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。一元二次不等式(组)是解不等式的基础,一元二次不等式是解不等式的基本题型。求 一 般 的 一 元 二 次 不 等 式20a xbxc或20axbxc(0)a的 解 集 , 要 结 合20a xb xc的根及二次函数2yaxbxc图象确定解集对 于 一 元 二 次 方 程20(0)axbxca, 设24ba c, 它 的 解 按 照000,可分为三种情况 相应地,二次函数2(0)yaxbxc a的图象与x轴的位置关系也分为三种情况因此,我们分三种情况讨论对应的一元二次不等式20axbxc(0)a的解集,列表如下:a1b1ba名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 11 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载分析求算术根,被开方数必须是非负数解据题意有, x2 x60,即(x3)(x 2)0,解在“两根之外” ,所以 x3 或 x 2例 3 解下列不等式(1)(x 1)(3x)52x (2)x(x 11)3(x1)2(3)(2x 1)(x3)3(x22) 分析将不等式适当化简变为ax2bxc0( 0)形式,然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)答(1)x|x 2 或 x4 (4)R (5)R 说明: 不能使用解公式的时候要先变形成标准形式例 4已知集合Ax|x25x40 与 Bx|x22axa2例有意义,则的取值范围是2 xx2x6(4)3x231325113122xxxxx x( )()(2)x|1x 32(3),若,求 的范围0BAa名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 11 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载分析先确定 A 集合,然后根据一元二次不等式和二次函数图像关解易得 Ax|1 x4 设 yx22axa2(*) 4a24(a2)0,解得 1a 2说明: 二次函数问题可以借助它的图像求解例 5、行驶中的汽车, 在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑一段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离,在某种路面上,某种型号的汽车的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米 /小时)满足下列关系:y(n 为常数,且nN) ,我们做过两次实验,有关数据如图所示其中(1)求出 n 的值(2)要使刹车距离不超过18.4 米,则行驶的最大速度应为多少? 系,结合,利用数形结合,建立关于的不等式BAa(1)BBA0若,则显然,由 得(2)B(*)116若,则抛物线的图像必须具有图特征:应有 从而x|xxx x|1x41212a12042a4a201412a22 解得 aa22187综上所述得的范围为 a1a187100nx1002x15137521yy名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 11 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载解: (1)由图像知y1n 4,y2n,依题意,即,n, nN, n3(2)由 y18.4 ,解得 0 x80 ,汽车行驶的最大速度为80 千米 /小时自主探究在解关于含参数的一元二次不等式时,往往都要对参数进行分类讨论。分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一,是历年高考的重点。下面举例说明解题时如何做到分类“不重不漏”。【题型一】对根的大小讨论例 6解关于 x 的不等式x2-2x+1-a2 0.分析: 若不等式对应方程的根12,x x中含有参数, 则须按12,x x的大小来分类, 即分1x2x三种情况。【题型二】对首项系数a 的讨论例 7解关于 x 的不等式 (x2)(ax2)0分析不等式的解及其结构与a 相关,所以必须分类讨论解1 当 a0 时,原不等式化为x20 其解集为 x|x 2;10040n40016005210070n4004900107449154491071374525nn1455141521552nn2514551003x4002x2a02(x2)(x)0 当 时,由于,原不等式化为 ,其解集为22aax|2ax2 ;名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 11 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载4 当 a1 时,原不等式化为(x2)2 0,其解集是 x|x 2;从而可以写出不等式的解集为:a0 时, x|x 2 ;a1 时, x|x 2;说明: 讨论时分类要合理,不添不漏【题型三】与一元二次不等式解法有关的逆向问题例 8 若 ax2bx10 的解集为 x|1x2,则 a_ ,b_分析根据一元二次不等式的解公式可知,1 和 2 是方程 ax2bx10 的两个根,考虑韦达定理解根据题意, 1,2 应为方程ax2bx10 的两根,则由韦达定理知例 9若不等式 ax2bxc0 的解集为 x| x(0 ),求 cx2bxa0 的解集分析由一元二次函数、方程、不等式之间关系,一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的,这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系考虑使用韦达定理:解法一由解集的特点可知a0,根据韦达定理知:30a12(x2)(x)0 当 时,因,原不等式化为 ,其解集为22aax|x2x或 ;2a5a12(x2)(x)0 当 时,由于,原不等式化为 ,其解集是22aax|xx2或 2aa0 x|2ax2 时, ;0a1x|x2x 时,或 ;2aa1x|xx2 时,或 2abaa()()1211122得ab1212,baca名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 11 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载a0, b0,c0解法二cx2bxa0 是 ax2bxa0 的倒数方程且 ax2bxc 0 解为 x,说明:要在一题多解中锻炼自己的发散思维课堂精练一、选择题1.不等式 (x5)(32x)6 的解集是() A. x|x 1 或 x92B. x|1x92 C.x|x92或 x1 D. x|92x1 解析: 因为不等式 (x5)(32x)6 可化为 2x27x90,而 2x27x9 0的两根为x192,x21,所以函数 f(x)2x27x9 与 x 轴的交点为 (92,0),(1,0),又函数 f(x)2x27x9 的图象开口向上,所以不等式(x5) (32x)6 的解集是 x|92x1. 答案: D 2.b24ac0 是一元二次不等式ax2bxc0 的解集是R 的() A.充分条件,但不是必要条件B.必要条件,但不是充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析: 若一元二次不等式ax2 bxc0 的解集为R,则有 a0 且 b24ac0;若 b24ac 0,即 , baca()00又,baacbc由,bccaac(1)111对 化为 ,cxbxa0 xx022bcac由得,是 两个根且 ,1111xx002bcac即 的解集为或 xx0cxbxa0 x|xx22bcac11 的解集为或 cxbxa0 x|xx 211名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 11 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载ax2 bxc0 的解集可能是R(当 a0 时),也可能是 ?(当 a0 时). 答案: B 3.设 Ax|x22x30,Bx|x2axb0 ,若 AB R,A B(3,4,则 ab 等于() A.7 B. 1 C.1 D.7 解析: A( , 1) (3, ) , A BR,A B(3,4,则 B1,4, a (14) 3,b 1 4 4, ab 7. 答案: D 4.若 ax2xa0 的解集为 ?,则实数a 取值范围() A.a12B.a12C.12a12D.a12或 a12解析: ax2 xa0 的解集为 ?,01,.02aa答案: A 5.在 R 上定义运算:x*yx(1y).若不等式 (xa)*( xa)1 对任意实数x恒成立,则 () A.1a1 B.0a2 C.12a32D.32a12解析:依题设 xax2a21 恒成立,即(x12)2(a34a2)0 恒成立 ? a2 a340 恒成立 ? 12a32. 答案: C 二、填空题6.若关于 x 的方程 x2axa210 有一正根和一负根,则a 的取值范围为. 解析: 令 f(x) x2 axa21,二次函数开口向上,若方程有一正一负根,则只需f(0)0,即 a210, 1a1. 答案: 1a1 7.当 a0 时不等式组0101xaxa的解集为. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 11 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载解析: 由11axaaxa画轴讨论便得 . 答案: 当 a12时为 ?;当 a12时为 12;当 0a12时为 a,1a 8.已知关于x 的不等式ax1x10 的解集是 ( , 1)(12, ) ,则 a. 解析:ax 1x10? (ax1)(x1)0,根据解集的结构可知,a0 且1a12, a 2. 答案: 2. 三、解答题9.解下列不等式:(1)x22x230;(2)9x26x10. 解: (1)两边都乘以3,得 3x26x20,因为 30,且方程3x26x 20 的解是x1133,x2133,所以原不等式的解集是x|133x 133. (2)法一 :不等式 9x26x10,其相应方程9x2 6x1 0, (6)24 90,上述方程有两个相等实根x1 x213,结合二次函数y9x26x1 的图象知,原不等式的解集为R. 法二 :9x26x10? (3x1)20, x R,不等式的解集为R. 10.某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m 和汽车车速x km/h 有如下关系:s120 x1180 x2,在一次交通事故中, 测得这种车的刹车距离大于39.5 m,那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少?(精确到0.01 km/h) 解: 设这辆汽车刹车前的车速为x km/h,根据题意,有120 x1180 x239.5,名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精
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