学习必备欢迎下载一元二次方程根的分布一一元二次方程根的基本分布零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。设一元二次方程ax2bxc0（a0）的两个实根为x1，x2，且 x1x2。【定理 1】x10， x2 0 b24ac 0 x1x2ba0 x1x2ca0，推论：x10，x2 0 b24ac0a0f(0) c0b0或 b24ac0a0f(0) c0b0上述推论结合二次函数图象不难得到。xy02ab1x2x0aO0c0 xy1x2xO0c0a02ab0例 1： 若一元二次方程( m1) x22( m1) xm0 有两个正根，求m 的取值范围。【定理 2】x10， x2 0 b24ac 0 x1x2ba0 x1x2ca0，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载推论：x10，x2 0 b24ac0a0f(0) c0b0或 b24ac0a0f(0) c0b0由二次函数图象易知它的正确性。xy1x2x0aO0c002abxy1x2xO0c0a002ab【定理 3】x10 x2ca 0例 2： k 在何范围内取值，一元二次方程kx23kx k30 有一个正根和一个负根？【定理 4】 x10，x20 c0 且ba0；x10，x20 c0 且ba0。xy1x2x0aO02abxy1x2x0aO02ab名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载xy1x2xO02ab0axy1x2x0aO02ab例 3： 若一元二次方程kx2(2 k1) xk 30 有一根为零，则另一根是正根还是负根？二一元二次方程根的非零分布k 分布设一元二次方程ax2 bxc0（a0）的两实根为x1，x2，且 x1x2。k 为常数。则一元二次方程根的k 分布（即x1、x2相对于 k 的位置）有以下若干定理。【定理 1】k x1 x2 b24ac0af( k) 0b2akxy1x2x0aOabx20)(kfkxy1x2xOabx2k0a0)(kf【定理 2】x1x2k b24ac0af( k) 0b2ak。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载xy1x2x0aOabx2k0)(kfxy1x2xOabx2k0a0)(kf【定理 3】x1k x2af(k) 0。 【因为只要有这个条件，就意味着函数穿越了x 轴，而只要穿越x 轴，必然就有2 个解， 导致不需要不等式】0)(kfxy1x2x0aOkxy1x2xOk0a0)(kf推论 1x10 x2ac0。推论 2x11 x2a( abc) 0。【定理 4】有且仅有一个根x1（或 x2）满足 k1x1（或 x2） k2f( k1) f( k2)0 xy1x2x0aO1k2k0)(1kf0)(2kfxy1x2xO0a1k2k0)(1kf0)(2kf【定理 5】k1x1k2p1x2p2a0f( k1) 0f( k2) 0f( p1)0f( p2) 0或a0f( k1) 0f( k2) 0f( p1) 0f( p2) 0名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载【定理 6】k1x1x2k2 b24ac0a0f( k1) 0f( k2) 0k1b2a k2或 b24ac0a0f( k1) 0f( k2) 0k1b2ak2xy1x2x0aO1k2k0)(1kf0)(2kfabx2xy1x2xO0a1k2k0)(1kf0)(2kfabx2三例题解析例： 已知关于x的方程2(21)420 xmxm，求满足下列条件的m的取值范围 .（1） 两个正根（2）有两个负根（3） 两个根都小于1（4） 两个根都大于12（5）一个根大于2，一个根小于2 （6） 两个根都在(0, 2)内（7） 两个根有且仅有一个在(0,2)内名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（8）一个根在( 2,0)内，另一个根在(1,3)内（9） 一个正根，一个负根且正根绝对值较大（10）一个根小于2，一个根大于4 补充知识：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载1.二次函数的解析式的三种形式一般式：)0(2acbxaxy；对称轴方程是2bxa；顶点为24(,)24bacbaa；两点式：)(21xxxxay；对称轴方程是；与x轴的交点为；顶点式：hkxay2)(；对称轴方程是；顶点为；2.一元二次函数的单调性：当0a时：为增函数；为减函数；当0a时：为增函数；为减函数；3.二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的内在联系（1）)0(2acbxaxy的图象与x轴交点的横坐标是方程_的实根(2) 若12,xx为方程( )0f x的两实根，则函数( )f x的图象在x轴上截得的线段长应为|21xx|=_ (3) 当_ 时，恒有( )0f x；当_ 时，恒有( )0f x.反思与归纳：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -