课后素养落实 ( 三十二 ) 直线与平面垂直的定义及判定定理(建议用时： 40 分钟)一、选择题1一条直线和三角形的两边同时垂直，A 平行C相交不垂直则这条直线和三角形的第三边的位置关系是 ( )B垂直D不确定B 一条直线和三角形的两边同时垂直， 则其垂直于三角形所在平面， 从而垂直第三边 2 已知 m 和 n 是两条不同的直线， 和 是两个不重合的平面， 那么下面给出的条件中，一定能推出 m 的是 ( )A ，且 m? C mn，且 n? B mn，且 n D mn，且 n B A 中，由 ，且 m? ，知 m ； B 中，由 n ，知 n 垂直于平面 内的任意直线，再由 mn，知 m 也垂直于 内的任意直线，所以 m， B 符合题意； C， D 中， m? 或 m 或 m 与 相交，不符合题意故选 B 3如图，在正方体 ABCD -A1B1C 1D 1 中，与直线 AD 1 垂直的平面是 ( )A 平面 DD 1C1CC平面 A1B1C1D 1B平面 A1DCB 1D平面 A1DBB 由几何体 ABCD -A1B1C 1D 1 为正方体， 可知故 AD 1平面 A1DCB 1 4已知直线 a 与平面 所成的角为 50，直线AD 1A1B1， AD 1A1D， A1B1 A1D A1，ba，则 b 与 所成的角等于 ( )A 40 B 50 C 90 D 150 B 根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知 b 与 所成的角也是 50 - 1 -3r 1 5 (多选题 )如图，在三棱锥 P-ABC 中， PA平面 ABC， ABBC， PA AB， D 为 PB 的 中点，则下列判断正确的是 ( )A BC平面 PABB AD PCC AD 平面 PBCD PB 平面 ADCABC PA平面 ABC， PA BC又 ABBC， BC平面 PAB， 故 A 判断正确； 由 BC平面 PAB， 得 BCAD， BCPB， PA AB，D 为 PB 的中点， AD PB，从而 AD 平面 PBC，故 C 判断正确； PC? 平面 PBC，AD PC，故 B 判断正确；在平面 PBC 中， PBBC， PB 与 CD 不垂直，即 PB 不垂直于平面 ADC，故 D 判断不正确 二、填空题6设三棱锥 P-ABC 的顶点 P 在平面 ABC 上的射影是点，则 PA， PB， PC 的关系是 _PA PB PC 因为 H 为 AC 中点， ABC 90，所以由勾股定理知 PA PB PC H，若 ABC 90， H 是 AC 的中AH BH CH，又 PH 平面 ABC，7 已知圆锥的底面半径为_1 cm，侧面积为 2 cm2 ，则母线与底面所成角的大小为 由圆锥侧面积公式 l 2，所以 3 8如图所示，在正方体DD 1， D 1C1 的中点，则平面直的是 _S rl l12 ， 解得 l 2， 设母线与底面所成角为 ， 则 cos ABCD -A1B1C1D 1 中， O 是底面 ABCD 的中心， M， N 分别是棱AB1C，平面 ACC 1A1 ，平面 OCN，平面 A1C1D 中，与直线 OM 垂- 2 -AB 5平面 AB1C，平面 A1C1D 因为 AC平面 BDD 1，所以 ACOM ，同理可证 B1COM，AC B1C C，所以 OM 平面 AB1C；同理， OM平面 A1C 1D 三、解答题9如图，在直三棱柱 ABC -A1B1C1 中， ABAC， AB AA1， AB1 A1B M求证： A1B平面 MAC证明 因为在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， ABAC， AB AA1， A1B AB1 M ，所以A1BAM，ACAA1 因为 AB AA 1A，所以 AC平面 ABB 1A1，所以 ACA1B，因为 AM ACA，所以 A1B平面 MAC10 如图， ABCD 是圆柱的一个轴截面， 点 E 是上底面圆周上的一点， 已知 AB BC 5，AE 3(1) 求证： DE 平面 ABE；(2) 求直线 BE 与平面 ADE 所成角的正切值解 (1) 证明： ABCD 是圆柱的一个轴截面，所以 AB ED， 又 E 在底面圆上， AD 为直径，AB平面 ADE ，因为 ED? 平面 ADE，所以 AEDE， 又 AE AB A， 所以 DE 平面 ABE(2) 因为 AB平面 ADE ，所以 AEB 为直线 BE 与平面 ADE 所成角，在 RtABE 中， AB 5， AE 3，所以 tanAEB AE 3- 3 -1 如图， 点 A ， 点 B ， 点 P? ， PB ， C 是 内异于 A 和 B 的动点， 且 PCAC，则动点 C 在平面 内所组成的集合是 ( )A 一条线段，但要去掉两个点B 一个圆，但要去掉两个点C两条平行直线D 半圆，但要去掉两个点B 连接 BC， AB(图略 )， 由于 PCAC， PBAC， 所以 AC平面 PBC， 所以 ACBC，说明动点 C 在以 AB 为直径的圆上，但不与点 A， B 重合 2三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的 ( ) A 内心 B 重心 C外心 D垂心C 如图，设点 P 在平面 ABC 内的射影为 O，连接 OA， OB， OC三棱锥的三条侧棱两两相等， PA PB PC PO底面 ABC， POOA， PO OB， PO OC， RtPOARtPOBRtPOC， OA OB OC，故顶点 P 在底面的射影为底面三角形的外心3如图，已知 ABC 是等腰三角形，且ACD 沿 CD 折起，使得 ACBC，则此时直线ACB 120 ， AC 2，点 D 是 AB 的中点将BC 与平面 ACD 所成角的正弦值为 ( )- 4 -3 3 332 66 3 2A B CA 如图，作 BEAD ，垂足为1DE，连接 CEAD CD， BD CD， AD BD D， CD 平面 ADB BE? 平面 ADB， CD BE，又 BEAD， AD CD D， BE平面 ACD， BCE 为直线 BC 与平面 ACD 所成的角 由题意，可知 AD BD 3， AB AC2 BC2 2 2设 ADB 中， AB 边上的高为 h，则 h3 2 2 2 1由 AD BE AB h，得 BE 3 ，sinBCE B(B)C(E) 36，故选 A 4已知正方体 ABCD -A1 B1C1D 1 中，点 E 在棱 AB 上运动，点 F 在对角线 BD 1 上运动，设直线 EF 与平面 ABCD 所成的角为 ，直线 EF 与平面 BDD 1 所成的角为 ，则 ( )A B C存在直线D 存在直线D 过 F 作EF ，使得 50EF ，使得 50DD 1 的平行线，交 BD 于点 G，连接