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2022届新高考(全国I卷)地区优质数学试卷分项解析专题12 数列(解答题)(上期末卷)51(2022湖南娄底高三期末)在等差数列中,已知,是一元二次方程的两个根(1)求,;(2)求的通项公式【答案】(1),或,(2)或【分析】(1)求出方程的根即可.(2)由(1)可解出等差数列的公差即可.(1)因为,所以或14,所以,;或,(2)设公差为d,若,得,所以通项公式为;若,则,所以通项公式为故的通项公式:或.52(2022广东潮州高三期末)设等差数列的前n项和为(1)求数列的通项公式及前n项和;(2)若 ,求数列的前n项和在这两个条件中任选一个补充在第(2)问中,并求解(注意:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)【答案】(1);(2)若选,;若选,.【分析】(1)根据等差数列的通项公式,结合等差数列前n项和公式进行求解即可;(2)若选,利用错位相减法进行求解即可;若选,利用裂项相消法进行求解即可.(1)设等差数列的公差为,由,可得:;(2)若选.因为,所以,因此,两个等式相减得:,;若选,因为,所以,因此有:.53(2022湖北省鄂州高中高三期末)已知数列满足,;数列前项和为,且,.(1)求数列和数列的通项公式;(2)设,求前项和.【答案】(1),;(2).【分析】(1)根据递推公式,结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可;(2)利用错位相减法进行求解即可.(1),又,(为正整数)时,是首项为1,公差为2的等差数列,,(为正整数)时,是首项为1,公差为2的等差数列.,时,又,时,;(2)由(1)得,设 则 得,54(2022湖北恩施土家族苗族高中高三期末)已知是公差为1的等差数列,且,成等比数列()求的通项公式; ()求数列的前n项和【答案】(1)(2)【分析】(1)根据等差数列通项公式和等比中项定义,求得首项和公差,进而求得的通项公式(2)数列可以看成等差数列与等比数列的乘积,因而前n项和可用错位相减法求解【详解】(1)由题意得,故,所以的通项公式为(2)设数列的前项和为,则,两式相减得, 所以55(2022全国高三专题练习)已知数列的前n项和为,且(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前n项和【答案】(1)(2)【分析】(1)根据所给条件先求出首项,然后仿写,作差即可得到的通项公式;(2)根据(1)求出的通项公式,观察是由一个等差数列加一个等比数列得到,要求其前项和,需采用分组求和法,即可求出前项和(1),当时,即当时,由得,即数列是以2为首项,4为公比的等比数列(2)由(1)知 ,56(2022江苏常州高三期末)已知数列的前项和(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和【答案】(1)(2)【分析】(1)根据及的表达式,代入计算,即可得答案.(2)当,可求得,当时,根据裂项相消求和法,计算即可得答案.(1)时,而不满足上式,(2)当时,当时,综上:57(2022江苏海门高三期末)已知an是公差不为零的等差数列,a517,a1,a2,a7成等比数列(1)求数列an的通项公式;(2)将数列an与3n的相同的项按由小到大的顺序排列构成的数列记为bn,求数列bn的前n项和Sn【答案】(1)an4n3(2)【分析】(1)由及成等差数列建立等式求解即可;(2)根据条件求出数列,再求和即可.(1)设等差数列的公差为d,d0,由条件得解之得所以数列的通项公式为an4n3(2)设4n33m,则n,当m2k,kN*时,(1)m34,所以N*,当m2k1,kN*时,(1)m32,所以N*, 所以,所以58(2022河北唐山高三期末)已知是数列的前n项和,且(1)证明:为常数列;(2)若,求数列的前n项和【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)由已知得,即,利用与的关系化简可得化简即可得出结果.(2)由(1)可得,化简可知,通过裂项求和可得出结果.(1)由已知得,即,时,由,两式相减得,则,又于是为常数列(2)由(1)得则,故59(2022河北深州市中学高三期末)已知数列的前n项和为,(1)求数列的通项公式;(2)设,若数列的前n项和为,证明:【答案】(1);(2)证明见解析;【分析】(1)根据得到是首项为3,公比为3的等比数列,即可得到数列的通项公式;(2)首先求出,令,再利用裂项相消法求和即可得证;【详解】解:(1)因为,当时,当时,所以,即,即,又,所以是首项为3,公比为3的等比数列,即(2)由(1)知,令,则,所以60(2021广东汕头高三期末)已知正项等比数列的前n项和为,且(1)求数列的通项公式;(2)数列满足,当时,求数列的前n项和【答案】(1)(2)【分析】(1)由,得到,再由,求得,进而求得数列的通项公式;(2)由,得到,求得,结合裂项相消法求和,即可求解.(1)解:设数列公比为,因为数列正项等比数列,所以,因为,所以,又由,所以,即,解得或(舍去),所以,所以数列的通项公式.(2)解:由,所以,当时,可得,且,所以时,当时,适合,所以61(2022广东佛山高三期末)设为等比数列的前项和,、成等差数列.(1)求证:、成等差数列;(2)若,是数列的前项积,求的最大值及相应的值.【答案】(1)证明见解析;(2)当或时,取得最大值.【分析】(1)设等比数列的公比为,分析得出,利用已知条件可求得的值,再计算得出,即可证得结论成立;(2)分析可知是以为首项,以为公比的等比数列,求得,解不等式,求得的取值范围,可求得的最大值及其对应的值.(1)解:设等比数列的公比为.当时,则,则,故,由已知可得,得,整理得,即,因为,可得,故,所以,因此,、成等差数列.(2)解:,所以,数列是以为首项,以为公比的等比数列,所以,显然,令,解得,故当或时,取最大值,且.62(2022广东汕尾高三期末)已知等比数列满足是的等差中项(1)求数列的通项公式;(2)记,求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】(1)结合等比数列性质,将全部代换为与有关的形式,结合等差中项性质化简即可求解;(2)结合(1)可得,由错位相减法可求.(1)设等比数列的公比为q,又,;(2),-得:,.63(2022广东清远高三期末)已知数列的前n项和为,数列的前项和为,从下面中选择两个作为条件,证明另外一个成立,注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分【答案】答案见解析【分析】(1)、若选作为条件证明:由推出的关系,由进而求出数列的通项公式,进而推出;(2)、若选作为条件证明:由推出的关系,求出数列的通项公式,进而求出的通项公式;由求出数列的通项公式,进而推出;(3)、若选作为条件证明:由求出数列的通项公式,由求出的通项公式,求出数列的前n项和为,进而推出;【详解】(1)、若选作为条件证明:因为,所以当时,当时,两式相减得,所以,所以因为,所以,即,所以数列是首项为,公比为的等比数列所以,所以(2)、若选作为条件证明:因为,所以当时,当时,两式相减得,所以,所以,所以,所以数列是首项为,公比为的等比数列所以,所以因为,所以当时,;当时,因为当时也满足上式,所以,故(3)、若选作为条件证明:因为,所以当时,;当时,经检验当时满足上式,所以.因为,所以,所以,故64(2022广东罗湖高三期末)已知数列满足,且()(1)证明:数列是等比数列;(2)记的前n项和为,若,均有,求实数的最小值【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)对递推公式进行变形,利用等比数列的定义进行证明;(2)先利用(1)结论得到,再利用累加法和等比数列的前n项和公式求出,再求出,再分离参数,利用放缩法进行求解.(1)解:因为,所以, 又因为, 所以是以为首项,为公比的等比数列;(2)解:由(1),得, 所以,(), 所以(),经检验当时,亦满足,所以(), 所以, 因为任意,均有,所以() , 又因为 (),所以,即实数的最小值为.65(2022广东铁一中学高三期末)已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式;(2)数列,表示不超过的最大整数,求的前1000项和.【答案】(1);(2).【分析】(1)利用可求出;(2)根据数列特点采用分组求和法求解.【详解】(1)当时,当时,将代入上式验证显然适合,所以.(2)因为,所以,所以.66(2022广东揭阳高三期末)在各项均为正数的等比数列中,.(1)求数列的通项公式;(2),求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】(1)由条件可得,从而可解得,得到答案.(2)由(1)可得,则利用裂项相消法可得答案.(1)设数列的公比为,依题意可得解得或,又因为数列的各项均为正数,所以.从而可求得,所以,.(2),67(2022湖南郴州高三期末)已知数列的前项和为,且,是公差不为0的等差数列,且成等比数列,成等差数列(1)求的通项公式;(2)若,求的前项和【答案】(1);(2)【分析】(1)由已知列式解方程组可得解.(2)裂项求和即可.(1)当,两式相减可得由,代入可得,满足,所以为等比数列,不妨设等差数列公差为,由条件可得,即,解得,所以(2)由(1)可知.68(2022湖南常德高三期末)已知数列的前n项和为,且(1)求,并求数列的通项公式;(2)若数列满足:,求数列前20项的和【答案】(1),(2)【分析】(1)在已知条件中分别取,可求得的值,当时利用和与项的一般关系得到,从而判定数列为等差数列,然后得到通项公式;(2)利用分段求和法、等差数列求和公式和裂项求和法求得数列前20项的和(1)解:由题可知,解得.在中令,得,解得;,由得:,即,数列是首项与公差都为2的等
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