高考提能高考提能圆的第二定义圆的第二定义阿波罗尼斯圆阿波罗尼斯圆专题五解析几何板块三专题突破核心考点一、问题背景一、问题背景苏教版数学必修2P112第12题：已知点M(x，y)与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离之比为 ，那么点M的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M所构成的曲线.二、阿波罗尼斯圆二、阿波罗尼斯圆公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在平面轨迹一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.如图，点A，B为两定点，动点P满足PAPB.则1时，动点P的轨迹为直线；当1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆.证：设AB2m(m0)，PAPB，以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A(m,0)，B(m,0).两边平方并化简整理得(21)x22m(21)x(21)y2m2(12).当1时，x0，轨迹为线段AB的垂直平分线；上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理.三、阿波罗尼斯圆的性质三、阿波罗尼斯圆的性质1.满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比内分AB和外分AB所得的两个分点.2.直线CM平分ACB，直线CN平分ACB的外角.4.CMCN.5.当1时，点B在圆O内；当01时，点A在圆O内.6.若AC，AD是切线，则CD与AO的交点即为B.7.若过点B做圆O的不与CD重合的弦EF，则AB平分EAF.四、范例欣赏四、范例欣赏解答例例1设A(c,0)，B(c,0)(c0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a0)，求P点的轨迹.解答例例2如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O24，过动点P分别作圆O1，圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得PM PN，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.解答例例3如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y2x4，设圆C的半径为1，圆心在l上.(1)若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；解答(2)若圆C上存在点M，使MA2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.解答例例4在x轴正半轴上是否存在两个定点A，B，使得圆x2y24上任意一点到A，B两点的距离之比为常数 ？如果存在，求出点A，B坐标；如果不存在，请说明理由.五、跟踪演练五、跟踪演练1.满足条件AB2，AC BC的ABC的面积的最大值是_.解析答案解解析析以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B(1,0)，设C(x，y)，平方化简整理得y2x26x1(x3)288.1234562.在ABC中，边BC的中点为D，若AB2，BC AD，则ABC的面积的最大值是_.解析答案1234563.在平面直角坐标系xOy中，设点A(1,0)，B(3,0)，C(0，a)，D(0，a2)，若存在点P，使得PA PB，PCPD，则实数a的取值范围是_.解析答案1234564.如图，在等腰ABC中，已知ABAC，B(1,0)，AC边的中点为D(2,0)，则点C的轨迹所包围的图形的面积等于_.解析答案4解解析析因为AB2AD，所以点A的轨迹是阿波罗尼斯圆，易知其方程为(x3)2y24(y0).设C(x，y)，由AC边的中点为D(2,0)，知A(4x，y)，所以C的轨迹方程为(4x3)2(y)24，即(x1)2y24(y0)，所求的面积为4.1234565.如图，已知平面平面，A，B是平面与平面的交线上的两个定点，DA，CB，且DA，CB，AD4，BC8，AB6，在平面上有一个动点P，使得APDBPC，求PAB的面积的最大值.解答1234566.已知O：x2y21和点M(4,2).(1)过点M向O引切线l，求直线l的方程；解答解解直线l的斜率存在，设切线l方程为y2k(x4)，123456(2)求以点M为圆心，且被直线y2x1截得的弦长为4的M的方程；解答M的方程为(x4)2(y2)29.123456(3)设P为(2)中M上任一点，过点P向O引切线，切点为Q，试探究：平面内是否存在一定点R，使得 为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.解答123456