第四章 数列第1讲 等差数列及其前n项和一、必记2个知识点1等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列符号表示为an1and(nN*，d为常数)(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A，其中A叫做a，b的等差中项2等差数列的有关公式(1)通项公式：ana1(n1)d.(2)前n项和公式：Snna1d.二、必明2个易误区1要注意概念中的“从第2项起”如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列2注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别三、必会3个方法1等差数列的四种判断方法(1)定义法：an1and(d是常数)an是等差数列(2)等差中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列(3)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列(4)前n项和公式：SnAn2Bn(A、B为常数)an是等差数列2活用等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d，(n，mN*)(2)若an为等差数列，且klmn，(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列(4)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列. 3用方程思想和化归思想在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程(组)获得解考点一等差数列的基本运算1.(2013全国卷)设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，则m()A3 B4 C5 D6解析：选C根据已知条件，得到am和am1，再根据等差数列的定义得到公差d，最后建立关于a1和m的方程组求解由Sm12，Sm0，Sm13，得amSmSm12，am1Sm1Sm3，所以等差数列的公差为dam1am321， 由得解得2已知an为等差数列，Sn为其前n项和若a1，S2a3，则a2_；Sn_.解析：设等差数列的公差为d，则2a1da12d，把a1代入得d，所以a2a1d1，Snna1dn(n1)答案：13已知等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和Sk35，求k的值解：(1)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d，由于a11，a33，又a3a12d，所以d2，因此an32n.(2)由an32n，得Snn2nn2，所以Sk2kk235，即k22k350，解得k7或k5，又因为kN*，所以k7.类题通法1等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想2数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法考点二等差数列的判断与证明典例已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1，an2SnSn1(n2且nN*)(1)求证：数列是等差数列(2)求Sn和an.解(1)证明：当n2时，anSnSn12SnSn1，Sn(12Sn1)Sn1.由上式知若Sn10，则Sn0.S1a10，由递推关系知Sn0(nN*)，由式得2(n2)是等差数列，其中首项为2，公差为2.(2)2(n1)2(n1)，Sn.当n2时，anSnSn1，当n1时，a1S1不适合上式，an 针对训练已知Sn为等差数列an的前n项和，bn(nN*)求证：数列bn是等差数列证明：设等差数列an的公差为d，Snna1n(n1)d，bna1(n1)d，bn1bna1nda1(n1)d(常数)，数列bn是等差数列考点三等差数列的性质及最值典例(1)(2014武昌联考)已知数列an是等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，an的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大的n是()A1 B19 C20 D21(2)设数列an，bn都是等差数列，若a1b17，a3b321，则a5b5_.解析(1)a1a3a5105a335，a2a4a699a433，则an的公差d33352，a1a32d39，Snn240n，因此当Sn取得最大值时，n20.(2)设两等差数列组成的和数列为cn，由题意知新数列仍为等差数列且c17，c321，则c52c3c1221735.答案(1)C(2)35类题通法1等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列an中，aman(mn)dd(mn)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差(2)和的性质：在等差数列an中，Sn为其前n项和，则S2nn(a1a2n)n(anan1)；S2n1(2n1)an.2求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Snan2bn，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解(2)邻项变号法：a10，d0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；当a10时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.针对训练1(2013安徽望江模拟)设数列an是公差d0的最小正整数n的值是()A8 B9C10 D11解析：选Ca11a83d3，d1，S11S8a11a10a93a127d3，a18，an8(n1)0，解得n9，因此使an0的最小正整数n的值是10.3已知数列an为等差数列，Sn为其前n项和，a7a54，a1121，Sk9，则k_.解析：a7a52d4，则d2.a1a1110d21201，Skk2k29.又kN*，故k3.答案：34(2014荆门调研)已知一等差数列的前四项和为124，后四项和为156，各项和为210，则此等差数列的项数是_解析：设数列an为该等差数列，依题意得a1an70.Sn210，Sn，210，n6.答案：65(2013深圳二模)各项均为正数的数列an满足a4Sn2an1(nN*)，其中Sn为an的前n项和(1)求a1，a2的值；(2)求数列an的通项公式解：(1)当n1时，a4S12a11，即(a11)20，解得a11.当n2时，a4S22a214a12a2132a2，解得a23或a21(舍去)(2)a4Sn2an1，a4Sn12an11.得：aa4an12an12an2(an1an)，即(an1an)(an1an)2(an1an)数列an各项均为正数，an1an0，an1an2，数列an是首项为1，公差为2的等差数列an2n1.能力提升题1(2013太原二模)设an为等差数列，公差d2，Sn为其前n项和，若S10S11，则a1()A1 B20 C22 D24解析：选B由S10S11，得a1a2a10a1a2a10a11，即a110，所以a12(111)0，解得a120.2(2013石家庄质检)已知等差数列an满足a23，SnSn351(n3)，Sn100，则n的值为()A8 B9 C10 D11解析：选C由SnSn351得，an2an1an51，所以an117，又a23，Sn100，解得n10.