LOGO线线 性性 代代 数数序序 言言n n学时数：学时数：1-18周，共54学时n n教材：教材：线性代数线性代数n n主要内容主要内容：1-6章章成绩构成成绩构成0平时成绩（共计平时成绩（共计30%） 0 1、 考勤（考勤（10%）0 2、 作业（作业（20%）0期末理论考试（期末理论考试（70%） 一、研究对象一、研究对象三、核心方法三、核心方法二、研究工具二、研究工具以以讨讨论论线线性性方方程程组组的的解解为为基基础础，研研究究线线性性空空间间的的结结构、线性变换的形式构、线性变换的形式. .线性代数研究对象与逻辑结构概述线性代数研究对象与逻辑结构概述利用矩阵理论利用矩阵理论, 求解线性方程组求解线性方程组.通通过过初初等等(线线性性)变变换换，将将方方程程组组化化为为最最简简形形式式的的同同解方程组求解解方程组求解. .四、课程特点四、课程特点公式多，式子大，符号繁，但规律性强。内容比较抽象。公式多，式子大，符号繁，但规律性强。内容比较抽象。五、逻辑结构五、逻辑结构线性代数研究对象与逻辑结构概述线性代数研究对象与逻辑结构概述线性线性方程组方程组矩阵矩阵理论理论行列式行列式Cramer法则法则矩阵对角化矩阵对角化二次型的化简二次型的化简线性线性变换变换初等变换初等变换 掌握三基掌握三基 基本概念基本概念 基本理论基本理论 基本方法基本方法 课前预习、课后复习课前预习、课后复习体会思路体会思路多动手，勤思考多动手，勤思考深入体会思想方法深入体会思想方法培养培养自学自学能力能力，独立分析问题和，独立分析问题和 独立解决问题的独立解决问题的能力能力学习方法学习方法在以往的学习中，我们接触过二在以往的学习中，我们接触过二元、三元等简单的线性方程组元、三元等简单的线性方程组. .但是，从许多实践或理论问题里但是，从许多实践或理论问题里导出的线性方程组常常含有相当导出的线性方程组常常含有相当多的未知量，并且未知量的个数多的未知量，并且未知量的个数与方程的个数也不一定相等与方程的个数也不一定相等. .-1 0 1 2 3 4 xy-11234(1)二元一次方程组二元一次方程组无穷多组解无穷多组解无解无解 x + y z = 5 2x -3y +z = 3 -5x+2y - 2z= 0记作记作三元一次方程组三元一次方程组nm个方程式n个未知数的线性方程式系统以矩阵方式表示为我们先讨论未知量的个数与方程我们先讨论未知量的个数与方程的个数相等的特殊情形的个数相等的特殊情形. .在讨论这一类线性方程组时，我在讨论这一类线性方程组时，我们引入行列式这个计算工具们引入行列式这个计算工具. .第一章第一章 行列式行列式n内容提要内容提要1 1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式2 2 n 阶行列式的定义阶行列式的定义 3 3 行列式的性质行列式的性质4 4 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开5 5 克莱姆法则克莱姆法则行列式的概念行列式的概念. .行列式的行列式的性质及计算性质及计算. . 线性方程组的求解线性方程组的求解. . 行列式是线性代数行列式是线性代数的一种工具！的一种工具！学习行列式主要就学习行列式主要就是要能计算行列式是要能计算行列式的值的值. .1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式我们从最简单的二元线性方程组出发，探我们从最简单的二元线性方程组出发，探求其求解公式，并设法化简此公式求其求解公式，并设法化简此公式. .一、二元线性方程组与二阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式一元一次方程一元一次方程 ax = b 当当 a0 时时，二元二元 （三元）线性方程组（三元）线性方程组例例 解二元线性方程组解二元线性方程组得得于是于是类似地，可得类似地，可得于是于是一、二元线性方程组与二阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式二元线性方程组二元线性方程组 由消元法，得由消元法，得当当 时，该方程组有唯一解时，该方程组有唯一解 求解公式为求解公式为二元线性方程组二元线性方程组 分母相同，分母相同，由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定.分子、分母都是分子、分母都是四个数分成两对相乘再四个数分成两对相乘再 相减相减而得而得.此公式有什么特点？此公式有什么特点？记号记号 数表数表 我们引进新的符号来表示我们引进新的符号来表示“四个数分成两对相乘再相减四个数分成两对相乘再相减”. .记：记： 称上式的左边为称上式的左边为二阶行列式二阶行列式，右边的式子为，右边的式子为二阶行列式的展开式二阶行列式的展开式 。其中，其中， 称为称为元素元素. .i 为为行标行标，表明元素位于第，表明元素位于第i 行；行； j 为为列标列标，表明元素位于第，表明元素位于第j 列列. .二阶行列式的计算二阶行列式的计算 主对角线主对角线 副对角线副对角线 即：主对角线上两元素之积即：主对角线上两元素之积副对角线上两元素之积副对角线上两元素之积 对角线法则对角线法则 例如例如行列式的计算结果是一个数。行列式的计算结果是一个数。注意：注意：例例1：设：设问当问当 （1）为为何何值时值时，D = 0 （2）为为何何值时值时，D0解：解：时，D=0时，D 0其求解公式为其求解公式为二元线性方程组二元线性方程组 = D1D = D2于是，当于是，当D00时，方程组的解为时，方程组的解为例例1.2 求解二元线性方程组求解二元线性方程组解解 因为因为 所以所以 二、三阶行列式二、三阶行列式定义定义 设有设有9个数排成个数排成3行行3列的数表列的数表原则：横行竖列原则：横行竖列引进记号引进记号称为称为三阶行列式三阶行列式. .主对角线主对角线 副对角线副对角线 二阶行列式的对角线法则二阶行列式的对角线法则并不适用！并不适用！三阶行列式的计算可用下面的对角线法则三阶行列式的计算可用下面的对角线法则注意注意: 2. 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号。元素的乘积冠以负号。1. 三阶行列式包括三阶行列式包括3!项项,每一项都是位于不每一项都是位于不同行同行,不同列的三个元素的乘积。不同列的三个元素的乘积。例例2 计算行列式计算行列式 解解按对角线法则，有按对角线法则，有= 0= ?对于三元线性方程组对于三元线性方程组 记记则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为: :例例3 3 解线性方程组解线性方程组解解解解由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式同理可得同理可得故方程组的解为故方程组的解为: j = 1, 2, , nn阶行列式阶行列式其中其中Dj j为将为将D的第的第 j 列换为常数项后得到的行列式列换为常数项后得到的行列式. .n元一次方程组元一次方程组系数系数行列式行列式方程组的解方程组的解:Cramer法则法则猜想猜想: 2 n 阶行列式的定义阶行列式的定义问题问题 把把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的个不同的元素排成一列，共有多少种不同的 排法？排法？定义定义 把把 n 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元个元素的素的全排列全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常个不同元素的所有排列的种数，通常用用Pn 表示表示.显然显然 即即n 个不同的元素一共有个不同的元素一共有n! 种不同的排法种不同的排法.一、全排列及其逆序数所所有有6种种不不同同的的排排法法中中，只只有有一一种种排排法法（123）中中的的数数字字是是按按从从小小到到大大的的自自然然顺顺序序排排列列的的，而而其其他他排排列列中中都都有有大大的的数排在小的数之前数排在小的数之前. .因因此此大大部部分分的的排排列列都都不不是是“顺顺序序”，而是而是“逆序逆序”. . 3个不同的元素一共有个不同的元素一共有3! =6种不同的排法种不同的排法。123，132，213，231，312，321对于对于n 个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序.n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.定义定义 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就就称这两个元素组成一个称这两个元素组成一个逆序逆序.例如例如 在排列在排列32514中，中，3 2 5 1 4逆序逆序 逆序逆序 逆序逆序 思考题：思考题：还能找到其它逆序吗？还能找到其它逆序吗？答：答：2和和1，3和和1也构成逆序也构成逆序.定义定义 排列中所有逆序的总数称为此排列的排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数逆序数.排列排列 的逆序数通常记为的逆序数通常记为 . .奇排列：奇排列：逆序数为奇数的排列逆序数为奇数的排列. .偶排列：偶排列：逆序数为偶数的排列逆序数为偶数的排列. .例如例如 排列排列32514 中，中， 3 2 5 1 4逆序数为逆序数为3。1故此排列的故此排列的逆序数为逆序数为3+1+0+1+0=5.计算排列的逆序数的方法计算排列的逆序数的方法 则此排列的则此排列的逆序数逆序数为为设设 是是 1, 2, , n 这这n 个自然数的任一排列，个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序并规定由小到大为标准次序. 先看有多少个比先看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为 ；再看有多少个比再看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为 ;最后看有多少个比最后看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为 ;3 4 2 143 2 1从而得从而得 (3421)=5=5. .5练习：练习：求排列求排列 32541 32541 的逆序数的逆序数. .答：答：(32541)=6=6. .例例4 4 计算下列排列的逆序数，并讨论奇偶性计算下列排列的逆序数，并讨论奇偶性.解解此排列为此排列为偶排列偶排列.例例5 5说明说明: : 一般说来一般说来, ,在在n n个数码的全排列中，奇偶排列个数码的全排列中，奇偶排列各占一半各占一半. .思考题：思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？ 偶排列偶排列二、对换二、对换定义定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余的元在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的方法叫做素不动，这种作出新排列的方法叫做对换对换将相邻两个元素对换，叫做将相邻两个元素对换，叫做相邻对换相邻对换例如例如 对换改变排列的奇偶性对换改变排列的奇偶性. .定理定理注意到除注意到除 外，其它元素的逆序数不改变外，其它元素的逆序数不改变. .当当 时，时， ， ， . . 当当 时，时， ， ， . . 因此相邻对换改变排列的奇偶性因此相邻对换改变排列的奇偶性. . 次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶偶性。性。（2）考虑一般情形）考虑一般情形三阶行列式的定义三阶行列式的定义1.1.概念的引入概念的引入规律：规律：1.1.三阶行列式共有三阶行列式共有6项，即项，即3!项项2.2.每一项都是位于每一项都是位于不同行不同列不同行不同列的三个元素的乘积的三个元素的乘积3.3.每一项可以写成每一项可以写成 （正负号除外），其中（正负号除外），其中 是是1、2、3的某个排列的某个排列. .三、n阶行列式的定义例如，例如，列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列偶排列奇排列奇排列4.4.当当 是是偶排列偶排列时，对应的项取时，对应的项取正号正号；5.5. 当当 是是奇排列奇排列时，对应的项取时，对应的项取负号负号. . 所以，三阶行列式可以写成所以，三阶行列式可以写成 其中其中 表示对表示对1、2、3的所有排列求和的所有排列求和. 二阶行列式有类似规律二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形下面将行列式推广到一般的情形. 三、三、n 阶行列式的定义阶行列式的定义1. n 阶行列