立体几何与空间向量1. 立体图形的截面问题 高考对用一平面去截一立体图形所得平面图形的考查实质上对学生空间想象能力及对平面基本定理及线面平行与面面平行的性质定理的考查.考生往往对这一类型的题感到吃力，实质上高中阶段对作截面的方法无非有如下两种：一种是利有平面的基本定理：一个就是一条直线上有两点在一平面内则这条直线上所在的点都在这平面内和两平面相交有且仅有一条通过该公共点的直线（即交线）（注意该定理地应用如证明诸线共点的方法：先证明其中两线相交，再证明此交点在第三条直线上即转化为此点为两平面的公共点而第三条直线是两平的交线则依据定理知交点在第三条直线；诸点共线：即证明此诸点都是某两平面的共公点即这此点转化为在两平的交线上）据这两种定理要做两平面的交线可在两平面内通过空间想象分别取两组直线分别相交，则其交点必为两平面的公共点，并且两交点的连线即为两平的交线.另一种方法就是依据线面平行及面面平行的性质定理，去寻找线面平行及面面平行关系，然后根据性质作出交线.一般情况下这两种方法要结合应用.例1.（全国高三月考（理）已知四棱锥中，平面，四边形为正方形，平面过，的中点，则平面截四棱锥所得的截面面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】顺次连接E，F，G，H，I，则平面EFGHI即为过E，F，H的平面截四棱锥P-ABCD所得截面，求其面积，可得答案.【详解】分别取，的中点，线段上靠近的四等分点，连接,因为,所以,四边形是平行四边形，即四点共面，设中点为,易得,故，所以五点共面，则平面即为平面，如图，在中，,可得,所以，在等腰三角形中，所以高为，故所求截面面积为矩形面积与三角形面积之和，故选：A点评：1判断截面的形状，应该将现有截面进行延伸，必须找出与整个几何体表面的截线.2.本题分别取，的中点，线段上靠近的四等分点作出并证明平面即为平面是解题的关键.例2.（甘肃兰州市高三其他模拟（文）如图，正方体的棱长为，点在棱上，过的平面与平面平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为_【答案】【解析】先利用平行关系得到截面与正方体的交点位于靠近的三等分点处，从而得到截面图像，再利用正方体的棱长求出截面多边形的周长即可.【详解】如图：虚线即为截面图形，分别为各边的三等分点，且面面，设正方体的棱长为，则，可得,则截面的周长为：，则该截面多边形的周长为.故答案为：.2.三视图高考对三视图的要求是：（1）理解简单空间图形 (柱、锥、台、球的简易组合) 的含义，了解中心投影的含义，掌握平行投影的含义；（2）理解三视图和直观图间的关系，掌握三视图所表示的空间几何体.会用斜二测法画出它们的直观图.从学生反馈情况看，主要错误是不能正确视图，还原几何体.突破这一瓶颈的有效途径，一是熟悉规则，二是多做一些练习.例3.（全国高三月考（文）在2000年威尼斯世界建筑设计展览会上，方圆大厦成为亚洲唯一获奖的作品，获得“世界上最具创意性和革命性的完美建筑”的美誉建筑，大厦立面以颇具传统文化意味的“古钱币”为外形，借此预示着入驻大厦的业主财源广进，事业发达，也有人认为这是象征中国传统文化的天圆地方，若将“内方”视为空心，其主视图和左视图如图所示，则其表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据题意，其表面积为圆柱的表面积加上“内方”的面积，减去上下底面的正方形面积，即可得解.【详解】 ，故选：C.点评：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.4.在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑. 3.常见几何体的面积、体积计算问题 几何体面积或体积的计算，是高考命题的热点，一般说来难度不大，但在解题过程中，出错率较高，主要原因是，公式记忆不清楚，特别是棱锥，球的体积公式容易忽视公式系数，导致出错；另外，计算简单几何体的体积，要选择某个面作为底面，选择的前提条件是这个面上的高易求.作为几何体与球的切接问题，要注意合理构建几何模型，探寻元素之间的关系.例4. （河南高三一模（理）在三棱锥中，则该三棱锥的内切球的表面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】将该三棱锥还原到长方体中，根据已知求出长宽高，求出三棱锥体积，再利用内切球的半径表示出体积，即可求出半径，得出表面积.【详解】由题可将该三棱锥还原到如图长方体中，设长方体的长宽高分别为，则，解得，设内切球的半径为，则，则，解得，则内切球的表面积为.故选：A.点评：本题考查几何体的内切问题，解题的关键是将几何体还原到长方体中，立体等体积关系求出内切球半径.例5. 如图，三棱锥ABCD的顶点A，B，C，D都在同一球面上，BD过球心O且BD=2，ABC是边长为2等边三角形，点P、Q分别为线段AO，BC上的动点（不含端点），且AP=CQ，则三棱锥PQCO体积的最大值为_【答案】248【解析】设AP=x，O为BD中点，AD=AB=2，AOBD，平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCD=BD，AO平面BCD，PO是三棱锥PQCO的高，AO=AB2OB2=1，OP=1x，(0x1)，在BCD中，BC=2，OB=1，OC=BC2OC2=1，OCB=45，SOCQ=12COCQsin45=12x22=24xV三棱锥POCQ=13POSOCQ=13(1x)24x=212x(1x)212x+1x22=248， 当且仅当x=12时取等号，三棱锥PQCO体积的最大值为248点评：对于几何体体积（面积）最值问题，需正确确定几何体中几何元素的关系，建立体积（面积）表达式.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决；当变量是高次时需要用到求导得方式进行解决；如果具备“一正、二定、三相等”等条件，可应用基本不等式求解.4.有关线面平行的证明问题中，对定理的理解不够准确，往往忽视三个条件中的某一条件的说明.判定直线与平面平行的主要依据是判定定理，它是通过线线平行来判定线面平行，这是所指的直线是指平面外的一条直线与平行于平面内的一条直线，在应用该定理证线面平行时，这三个条件缺一不可.例6.（云南省保山市2019年高三统一检测）如图，在几何体ABCA1B1C1中，平面A1ACC1底面ABC，四边形A1ACC1是正方形，B1C1/BC，Q是A1B的中点，且AC=BC=2B1C1，ACB=23(1)求证：B1Q/平面A1ACC1；(2)求二面角A1BB1C的余弦值【答案】（1）详见解析；（2）43131.【解析】证明：（1）如图所示，连接AC1，A1C交于M点，连接MQ因为四边形A1ACC1是正方形，所以点M是AC1的中点，又已知点Q是A1B的中点，所以MQBC，且MQ=12BC，又因为B1C1BC，且BC=2B1C1，所以MQB1C1，且MQ=B1C1，所以四边形B1C1MQ是平行四边形，故B1QC1M，因B1Q平面A1ACC1，C1M平面A1ACC1，故B1Q平面A1ACC1（2）如图所示，以C为原点，CB,CC1分别为y轴和z轴建立空间直角坐标系，不妨设AC=BC=2B1C1=2，则A3,1,0，A13,1,2，B0,2,0，B10,1,2，所以B1A1=3,2,0，B1B=0,1,2设平面A1BB1的法向量为m=x,y,z，则mB1A1=0mB1B=0 即3x2y=0y2z=0，取x=4，则m=4,23,3平面CBB1的一个法向量n=1,0,0，所以cosm,n=mnmn=431=43131故二面角A1BB1C的平面角的余弦值为43131点评：平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.5.定理使用不当 线面位置关系定理使用不当，一是推理论证不严谨，在使用线面位置关系的判定定理、性质定理时忽视定理的使用条件；二是线面位置关系的证明思路出错，缺乏转化的思想意识，不知道要证明线线垂直可以通过线面垂直达到目的，出现证明上的错误.防范失误的措施：证明空间线面位置关系的基本思想是转化与化归，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化，如要证明的是线线垂直，但分析问题时不能只局限在线上，要把相关的线归结到某个平面上（或是把与这些线平行的直线归结到某个平面上），通过证明线面的垂直达到证明线线垂直的目的，但证明线面垂直又要借助于线线垂直，在不断的相互转化中达到最终目的.解这类问题时要注意推理严谨，使用定理时找足条件，书写规范等.例7.（全国高一课时练习）如图几何体中，底面为正方形，平面，且.（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的大小.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）四边形为正方形 又平面 平面又，平面 平面平面， 平面平面平面 平面（2）连接交于点，连接平面，平面 又四边形为正方形 平面， 平面即为与平面所成角且 又 即与平面所成角为：点评：本题考查线面平行的证明、直线与平面所成角的求解，涉及到面面平行的判定与性质、线面垂直的判定与性质的应用；求解直线与平面所成角的关键是能够通过垂直关系将所求角放入直角三角形中来进行求解.6.多面体与球的切接问题多面体与球的切接问题是高考常见问题，属于高频考点，有一定的难度.1.求多面体的外接球的半径的基本方法有三种，第一种：当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可还原为长方体，长方体的体对角线就是外接圆的直径；第二种：“套球”当棱锥或棱柱是较特殊的形体时，在球内画出棱锥或棱柱，利用底面的外接圆为球小圆，借助底面三角形或四边形求出小圆的半径，再利用勾股定理求出球的半径，第三种：过两个多面体的外心作两个面的垂线，交点即为外接球的球心，再通过关系求半径.2. 空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a2b2c2求解例8（安徽高三月考（理）已知三棱锥的棱长均为6，其内有个小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与三棱锥的三个面和球都相切，如此类推，球与三棱锥的三个面和球都相切（，且），则球的体积等于_，球的表面积等于_.【答案】 【解析】如图，是三棱锥的高，是的外心，设，则，是三棱锥的外接球和内切球的球心，在上，设外接球半径为，内切球半径为，则由得，所以，过中点作与底面平行的平面与三条棱交于点，则平面