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2022年高考数学模拟试卷注意事项:1 答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知函数,当时,的取值范围为,则实数m的取值范围是( )ABCD2若复数满足(是虚数单位),则的虚部为( )ABCD3在直角坐标平面上,点的坐标满足方程,点的坐标满足方程则的取值范围是( )ABCD4一小商贩准备用元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品,甲每件进价元,乙每件进价元,甲商品每卖出去件可赚元,乙商品每卖出去件可赚元.该商贩若想获取最大收益,则购买甲、乙两种商品的件数应分别为( )A甲件,乙件B甲件,乙件C甲件,乙件D甲件,乙件5已知函数,为的零点,为图象的对称轴,且在区间上单调,则的最大值是( )ABCD6在等差数列中,若为前项和,则的值是( )A156B124C136D1807费马素数是法国大数学家费马命名的,形如的素数(如:)为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是()ABCD8国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是( )A12个月的PMI值不低于50%的频率为B12个月的PMI值的平均值低于50%C12个月的PMI值的众数为49.4%D12个月的PMI值的中位数为50.3%9设,则,则( )ABCD10如图在直角坐标系中,过原点作曲线的切线,切点为,过点分别作、轴的垂线,垂足分别为、,在矩形中随机选取一点,则它在阴影部分的概率为( )ABCD11已知函数,若恒成立,则满足条件的的个数为( )A0B1C2D312已知函数,若总有恒成立.记的最小值为,则的最大值为( )A1BCD二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13某种圆柱形的如罐的容积为个立方单位,当它的底面半径和高的比值为_.时,可使得所用材料最省.14已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积是_.15在的展开式中,的系数为_16的展开式中,常数项为_;系数最大的项是_.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)已知凸边形的面积为1,边长,其内部一点到边的距离分别为.求证:.18(12分)如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,平面,是棱上的一点,满足平面.()证明:;()设,若为棱上一点,使得直线与平面所成角的大小为30,求的值.19(12分)已知,证明:(1);(2).20(12分)如图,在中,已知,为线段的中点,是由绕直线旋转而成,记二面角的大小为.(1)当平面平面时,求的值;(2)当时,求二面角的余弦值.21(12分)已知 (1)当时,判断函数的极值点的个数;(2)记,若存在实数,使直线与函数的图象交于不同的两点,求证:22(10分)已知函数(1)当时,求的单调区间(2)设直线是曲线的切线,若的斜率存在最小值-2,求的值,并求取得最小斜率时切线的方程(3)已知分别在,处取得极值,求证:参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1C【解析】求导分析函数在时的单调性、极值,可得时,满足题意,再在时,求解的x的范围,综合可得结果.【详解】当时,令,则;,则,函数在单调递增,在单调递减.函数在处取得极大值为,时,的取值范围为,又当时,令,则,即,综上所述,的取值范围为.故选C.【点睛】本题考查了利用导数分析函数值域的方法,考查了分段函数的性质,属于难题.2A【解析】由得,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数,从而可得的虚部.【详解】因为,所以,所以复数的虚部为.故选A.【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算.3B【解析】由点的坐标满足方程,可得在圆上,由坐标满足方程,可得在圆上,则求出两圆内公切线的斜率,利用数形结合可得结果.【详解】点的坐标满足方程,在圆上,在坐标满足方程,在圆上,则作出两圆的图象如图,设两圆内公切线为与,由图可知,设两圆内公切线方程为,则,圆心在内公切线两侧,可得,化为,即,的取值范围,故选B.【点睛】本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用,属于综合题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法,尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效,大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象,充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简,并迎刃而解.4D【解析】由题意列出约束条件和目标函数,数形结合即可解决.【详解】设购买甲、乙两种商品的件数应分别,利润为元,由题意,画出可行域如图所示,显然当经过时,最大.故选:D.【点睛】本题考查线性目标函数的线性规划问题,解决此类问题要注意判断,是否是整数,是否是非负数,并准确的画出可行域,本题是一道基础题.5B【解析】由题意可得,且,故有,再根据,求得,由可得的最大值,检验的这个值满足条件【详解】解:函数,为的零点,为图象的对称轴,且,、,即为奇数在,单调,由可得的最大值为1当时,由为图象的对称轴,可得,故有,满足为的零点,同时也满足满足在上单调,故为的最大值,故选:B【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的特征,正弦函数的周期性以及它的图象的对称性,属于中档题6A【解析】因为,可得,根据等差数列前项和,即可求得答案.【详解】,.故选:A.【点睛】本题主要考查了求等差数列前项和,解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前项和公式,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.7B【解析】基本事件总数,能表示为两个不同费马素数的和只有,共有个,根据古典概型求出概率【详解】在不超过的正偶数中随机选取一数,基本事件总数能表示为两个不同费马素数的和的只有,共有个则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是本题正确选项:【点睛】本题考查概率的求法,考查列举法解决古典概型问题,是基础题8D【解析】根据图形中的信息,可得频率、平均值的估计、众数、中位数,从而得到答案.【详解】对A,从图中数据变化看,PMI值不低于50%的月份有4个,所以12个月的PMI值不低于50%的频率为,故A正确;对B,由图可以看出,PMI值的平均值低于50%,故B正确;对C,12个月的PMI值的众数为49.4%,故C正确,;对D,12个月的PMI值的中位数为49.6%,故D错误故选:D.【点睛】本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算,考查数据处理能力,属于基础题.9A【解析】根据换底公式可得,再化简,比较的大小,即得答案.【详解】,.,显然.,即,即.综上,.故选:.【点睛】本题考查换底公式和对数的运算,属于中档题.10A【解析】设所求切线的方程为,联立,消去得出关于的方程,可得出,求出的值,进而求得切点的坐标,利用定积分求出阴影部分区域的面积,然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率.【详解】设所求切线的方程为,则,联立,消去得,由,解得,方程为,解得,则点,所以,阴影部分区域的面积为,矩形的面积为,因此,所求概率为.故选:A.【点睛】本题考查定积分的计算以及几何概型,同时也涉及了二次函数的切线方程的求解,考查计算能力,属于中等题.11C【解析】由不等式恒成立问题分类讨论:当,当,当,考查方程的解的个数,综合得解【详解】当时,满足题意,当时,故不恒成立,当时,设,令,得,得,下面考查方程的解的个数,设(a),则(a)由导数的应用可得:(a)在为减函数,在,为增函数,则(a),即有一解,又,均为增函数,所以存在1个使得成立,综合得:满足条件的的个数是2个,故选:【点睛】本题考查了不等式恒成立问题及利用导数研究函数的解得个数,重点考查了分类讨论的数学思想方法,属难度较大的题型.12C【解析】根据总有恒成立可构造函数,求导后分情况讨论的最大值可得最大值最大值,即.根据题意化简可得,求得,再换元求导分析最大值即可.【详解】由题, 总有即恒成立.设,则的最大值小于等于0.又,若则,在上单调递增, 无最大值.若,则当时,在上单调递减, 当时,在上单调递增.故在处取得最大值.故,化简得.故,令,可令,故,当时, ,在递减;当时, ,在递增.故在处取得极大值,为.故的最大值为.故选:C【点睛】本题主要考查了根据导数求解函数的最值问题,需要根据题意分析导数中参数的范围,再分析函数的最值,进而求导构造函数求解的最大值.属于难题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13【解析】设圆柱的高为,底面半径为,根据容积为个立方单位可得,再列出该圆柱的表面积,利用导数求出最值,从而进一步得到圆柱的底面半径和高的比值【详解】设圆柱的高为,底面半径为.该圆柱形的如罐的容积为个立方单位,即.该圆柱形的表面积为.令,则.令,得;令,得.在上单调递减,在上单调递增.当时,取得最小值,即材料最省,此时.故答案为:.【点睛】本题考查函数的应用,解答本题的关键是写出表面积的表示式,再利用导数求函数的最值,属中档题14【解析】先由三视图在长方体中将其还原成直观图,再利用球的直径是长方体体对角线即可解决.【详解】由三视图知该几何体是一个三棱锥,如图所示长方体对角线长为,所以三棱锥外接球半径为,故所求外接球的表面积.故答案为:.【点睛】本题考查几何体三视图以及几何体外接球的表面积,考查学生空间想象能力以及基本计算能力,是一道基础题.15【解析】根据二项展开式定理,求出含的系数和含的系数,相乘即可.【详解】的展开式中,
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