2022年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）数学（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若z=1+3i，则zzz1=()A. 1+3iB. 13iC. 13+33iD. 1333i【答案】C【解析】【分析】 本题考查复数的运算，属基础题【解答】 解： z=13i,zz=(1+3i)(13i)=1+3=4. zzz1=1+3i3=13+33i2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图： 则()A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【答案】B【解析】【分析】 本题主要考查统计图和平均数、中位数、标准差和极差的应用，考查读图能力、分析能力，属于基础题 根据图中数据，逐一判断每个选项即可【解答】 解：讲座前中位数为 70+75270 ，所以 A 错； 讲座后问卷答题的正确率只有一个是80,4个85，剩下全部大于等于90，所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85，所以B对；讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，所以C错；讲座后问卷答题的正确率的极差为10080=20，讲座前问卷答题的正确率的极差为9560=3520，所以错.3. 设全集U=2,1,0,1,2,3，集合A=1,2,B=xx24x+3=0，则U(AB)=()A. 1,3B. 0,3C. 2,1D. 2,0【答案】D【解析】【分析】 本题考查集合的基本运算，属于基础题【解答】 解：由题意， B=xx24x+3=0=1,3 ，所以 AB=1,1,2,3 ，所以 UAB=2,0 4. 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为()A. 8B. 12C. 16D. 20【答案】B【解析】【分析】 本题考查三视图还原几何体，及棱柱体积的求法，属于基础题【解答】 解：由三视图还原几何体，如图， 则该直四棱柱的体积V=2+4222=125. 函数y=3x3xcosx在区间2,2的图象大致为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】 本题考查函数图象的辨别，是基础题【解答】 解：令 fx=3x3xcosx,x2,2 ， 则fx=3x3xcosx=3x3xcosx=fx，所以fx为奇函数，排除BD；又当x0,2时，3x3x0,cosx0，所以fx0，排除C6. 当x=1时，函数f(x)=alnx+bx取得最大值2，则f(2)=()A. 1B. 12C. 12D. 1【答案】B【解析】【分析】 本题考查导数的最值问题，属于中档题【解答】 解：因为函数 fx 定义域为 0,+ ，所以依题可知， f1=2 ， f1=0 ，而 fx=axbx2 ，所以 b=2,ab=0 ，即 a=2,b=2 ，所以 fx=2x+2x2 ，因此函数 fx 在 0,1 上递增，在 1,+ 上递减， x=1 时取最大值，满足题意，即有 f2=1+12=12 7. 在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30，则()A. AB=2ADB. AB与平面AB1C1D所成的角为30C. AC=CB1D. B1D与平面BB1C1C所成的角为45【答案】D【解析】【分析】 本题主要考查线面角的求解，属中档题 作出线面夹角的平面角，通过解三角形求出即可【解答】 解：如图所示： 不妨设AB=a,AD=b,AA1=c，依题意及长方体的结构特征可知，B1D与平面ABCD所成角为B1DB，B1D与平面AA1B1B所成角为DB1A，所以sin30=cB1D=bB1D，即b=c，B1D=2c=a2+b2+c2，解得a=2c对于A，AB=a，AD=b，AB=2AD，A错误；对于B，过B作BEAB1于E，易知BE平面AB1C1D，所以AB与平面AB1C1D所成角为BAE，因为tanBAE=ca=22，所以BAE30，B错误；对于C，AC=a2+b2=3c，CB1=b2+c2=2c，ACCB1，C错误；对于D，B1D与平面BB1C1C所成角为DB1C，sinDB1C=CDB1D=a2c=22，而0DB1Cb0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称若直线AP,AQ的斜率之积为14，则C的离心率为()A. 32B. 22C. 12D. 13【答案】A【解析】【分析】 本题考查椭圆的离心率，属于中档题【解答】 解： Aa,0 ，设 Px1,y1 ，则 Qx1,y1 ， 则kAP=y1x1+a,kAQ=y1x1+a，故kAPkAQ=y1x1+ay1x1+a=y12x12+a2=14，又x12a2+y12b2=1，则y12=b2a2x12a2，所以b2a2x12a2x12+a2=14，即b2a2=14，所以椭圆C的离心率e=ca=1b2a2=3211. 设函数f(x)=sinx+3在区间(0,)恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是()A. 53,136B. 53,196C. 136,83D. 136,196【答案】C【解析】【分析】 本题考查三角函数的图象性质，函数的零点与最值问题【解答】 解：依题意可得 0 ，因为 x0, ，所以 x+33,+3 ， 要使函数在区间0,恰有三个极值点、两个零点，又y=sinx，x3,3的图象如下所示：则52+33，解得136baB. bacC. abcD. acb【答案】A【解析】【分析】 本题考查利用导数比大小，属于拔高题【解答】 解：因为 cb=4tan14 ，因为当 x0,2,sinxx14，即cb1，所以cb；设f(x)=cosx+12x21,x(0,+)，f(x)=sinx+x0，所以f(x)在(0,+)单调递增，则f14f(0)=0，所以cos1431320，所以ba，所以cba，二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设向量a，b的夹角的余弦值为13，且a=1，b=3，则2a+bb=【答案】11【解析】【分析】 本题考查向量数量积运算，属基础题【解答】 解：设 a 与 b 的夹角为 ，因为 a 与 b 的夹角的余弦值为 13 ，即 cos=13 ， 又a=1，b=3，所以ab=abcos=1313=1，所以2a+bb=2ab+b2=2ab+b2=21+32=1114. 若双曲线y2x2m2=1(m0)的渐近线与圆x2+y24y+3=0相切，则m=【答案】33【解析】【分析】 本题主要考查双曲线的渐近线，直线与圆的位置关系，属于基础题 根据题意，表示出双曲线的渐近线即圆的切线，再依据圆心到直线的距离等于半径，求解参数【解答】 解：双曲线 y2x2m2=1(m0) 的渐近线为 y=xm ，即 xmy=0 ， 不妨取x+my=0，圆x2+y24y+3=0，即x2+(y2)2=1，所以圆心为0,2，半径r=1，依题意圆心0,2到渐近线x+my=0的距离d=|2m|1+m2=1，解得m=33或m=33(舍去)15. 从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为【答案】635【解析】【分析】 本题以正方体为载体考查古典概型，属于基础题【解答】 解：从正方体的 8 个顶点中任取 4 个，有 n=C84=70 个结果，这 4 个点在同一个平面的有 m=6+6=12 个，故所求概率 P=mn=1270=635 16. 已知ABC中，点D在边BC上，ADB=120,AD=2,CD=2BD.当ACAB取得最小值时，BD=【答案】31(或1+3)【解析】【分析】 本题考查余弦定理解三角形，及基本不等式求最值，属于较难题【解答】 解：设 CD=2BD=2m0 ， 则在ABD中，AB2=BD2+AD