2022年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）数学（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若z=1+3i，则zzz1=()A. 1+3iB. 13iC. 13+33iD. 1333i2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图： 则()A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3. 设全集U=2,1,0,1,2,3，集合A=1,2,B=xx24x+3=0，则U(AB)=()A. 1,3B. 0,3C. 2,1D. 2,04. 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为()A. 8B. 12C. 16D. 205. 函数y=3x3xcosx在区间2,2的图象大致为()A. B. C. D. 6. 当x=1时，函数f(x)=alnx+bx取得最大值2，则f(2)=()A. 1B. 12C. 12D. 17. 在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30，则()A. AB=2ADB. AB与平面AB1C1D所成的角为30C. AC=CB1D. B1D与平面BB1C1C所成的角为458. 沈括的梦溪笔谈是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，D在AB上，“会圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式：s=AB+CD2OA.当时，s=()A. 11332B. 11432C. 9332D. 94329. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙.若S甲S乙=2，则V甲V乙=()A. 5B. 22C. 10D. 510410. 椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称若直线AP,AQ的斜率之积为14，则C的离心率为()A. 32B. 22C. 12D. 1311. 设函数f(x)=sinx+3在区间(0,)恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是()A. 53,136B. 53,196C. 136,83D. 136,19612. 已知a=3132,b=cos14,c=4sin14，则()A. cbaB. bacC. abcD. acb二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设向量a，b的夹角的余弦值为13，且a=1，b=3，则2a+bb=14. 若双曲线y2x2m2=1(m0)的渐近线与圆x2+y24y+3=0相切，则m=15. 从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为16. 已知ABC中，点D在边BC上，ADB=120,AD=2,CD=2BD.当ACAB取得最小值时，BD=三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17. 记Sn为数列an的前n项和已知2Snn+n=2an+1(1)证明：an是等差数列；(2)若a4,a7,a9成等比数列，求Sn的最小值18. 在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD,CD/AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=3(1)证明：BDPA；(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值19. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立 (1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望20. 设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F，点D(p,0)，过F的直线交C于M，N两点当直线MD垂直于x轴时，|MF|=3(1)求C的方程；(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN,AB的倾斜角分别为,.当取得最大值时，求直线AB的方程21. 已知函数fx=exxlnx+xa(1)若fx0，求a的取值范围；(2)证明：若fx有两个零点x1,x2，则x1x270 ，所以 A 错； 讲座后问卷答题的正确率只有一个是80,4个85，剩下全部大于等于90，所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85，所以B对；讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，所以C错；讲座后问卷答题的正确率的极差为10080=20，讲座前问卷答题的正确率的极差为9560=3520，所以错.3.【答案】D【解析】【分析】 本题考查集合的基本运算，属于基础题【解答】 解：由题意， B=xx24x+3=0=1,3 ，所以 AB=1,1,2,3 ，所以 UAB=2,0 4.【答案】B【解析】【分析】 本题考查三视图还原几何体，及棱柱体积的求法，属于基础题【解答】 解：由三视图还原几何体，如图， 则该直四棱柱的体积V=2+4222=125.【答案】A【解析】【分析】 本题考查函数图象的辨别，是基础题【解答】 解：令 fx=3x3xcosx,x2,2 ， 则fx=3x3xcosx=3x3xcosx=fx，所以fx为奇函数，排除BD；又当x0,2时，3x3x0,cosx0，所以fx0，排除C6.【答案】B【解析】【分析】 本题考查导数的最值问题，属于中档题【解答】 解：因为函数 fx 定义域为 0,+ ，所以依题可知， f1=2 ， f1=0 ，而 fx=axbx2 ，所以 b=2,ab=0 ，即 a=2,b=2 ，所以 fx=2x+2x2 ，因此函数 fx 在 0,1 上递增，在 1,+ 上递减， x=1 时取最大值，满足题意，即有 f2=1+12=12 7.【答案】D【解析】【分析】 本题主要考查线面角的求解，属中档题 作出线面夹角的平面角，通过解三角形求出即可【解答】 解：如图所示： 不妨设AB=a,AD=b,AA1=c，依题意及长方体的结构特征可知，B1D与平面ABCD所成角为B1DB，B1D与平面AA1B1B所成角为DB1A，所以sin30=cB1D=bB1D，即b=c，B1D=2c=a2+b2+c2，解得a=2c对于A，AB=a，AD=b，AB=2AD，A错误；对于B，过B作BEAB1于E，易知BE平面AB1C1D，所以AB与平面AB1C1D所成角为BAE，因为tanBAE=ca=22，所以BAE30，B错误；对于C，AC=a2+b2=3c，CB1=b2+c2=2c，ACCB1，C错误；对于D，B1D与平面BB1C1C所成角为DB1C，sinDB1C=CDB1D=a2c=22，而0DB1C0 ，因为 x0, ，所以 x+33,+3 ， 要使函数在区间0,恰有三个极值点、两个零点，又y=sinx，x3,3的图象如下所示：则52+33，解得13683，即136,8312.【答案】A【解析】【分析】 本题考查利用导数比大小，属于拔高题【解答】 解：因为 cb=4tan14 ，因为当 x0,2,sinxx14，即cb