2022年普通高等学校招生全国统一考试 全国甲卷理科数学试卷一、选择题1.若，则( )A.B.C.D.2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则( )A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3.设全集，集合，则( )A.B.C.D.4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为( )A.8B.12C.16D.205.函数在区间的图像大致为( )A.B.C.D.6.当时，函数取得最大值-2，则( )A.-1B.C.D.17.在长方体中，已知与平面ABCD和平面所成的角均为30，则( )A.B.AB与平面所成的角为30C.D.与平面所成的角为458.沈括的梦溪笔谈是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，D在上，.“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：.当，时，( )A.B.C.D.9.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和.若，则( )A.B.C.D.10.椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为( )A.B.C.D.11.设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是( )A.B.C.D.12.已知，则( )A.B.C.D.二、填空题13.设向量a，b的夹角的余弦值为，且，则_.14.若双曲线的渐近线与圆相切，则_.15.从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为_.16.已知中，点D在边BC上，.当取得最小值时，_.三、解答题17.记为数列的前n项和.已知.（1）证明：是等差数列；（2）若，成等比数列，求的最小值.18.在四棱锥中，底面ABCD，.（1）证明：；（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值.19.甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立.（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.20.设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点.当直线MD垂直于x轴时，.（1）求C的方程；（2）设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为，.当取得最大值时，求直线AB的方程.21.已知函数.（I）若，求a的取值范围；（2）证明：若有两个零点，则.22.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），曲线的参数方程为（s为参数）.（1）写出的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标.23.已知a，b，c均为正数，且，证明：（1）；（2）若，则.