2022年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷 全国甲卷文科学校：_姓名：_班级：_考号：_一、选择题1.设集合，则( )A.B.C.D.2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则( )A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3.若.则( )A.B.C.D.4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为( )A.8B.12C.16D.205.将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是( )A.B.C.D.6.从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( )A.B.C.D.7.函数在区间的图像大致为( )A.B.C.D.8.当时，函数取得最大值-2，则( )A.-1B.C.D.19.在长方体中，已知与平面ABCD和平面所成的角均为30，则( )A.B.AB与平面所成的角为30C.D.与平面所成的角为4510.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和.若，则( )A.B.C.D.11.已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点.若，则C的方程为( )A.B.C.D.12.已知，则( )A.B.C.D.二、填空题13.已知向量，.若，则_.14.设点M在直线上，点和均在上，则的方程为_.15.记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值_.16.已知中，点D在边BC上，.当取得最小值时，_.三、解答题17.甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A24020B21030（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：，0.1000.0500.010k2.7063.8416.63518.记为数列的前n项和.已知.（1）证明：是等差数列；（2）若，成等比数列，求的最小值.19.小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.（1）证明：平面ABCD；（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.20.已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线.（1）若，求a；（2）求a的取值范围.21.设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点.当直线MD垂直于x轴时，.（1）求C的方程；（2）设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为，.当取得最大值时，求直线AB的方程.22.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），曲线的参数方程为（s为参数）.（1）写出的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标.23.已知a，b，c均为正数，且，证明：（1）；（2）若，则.参考答案1.答案：A解析：2.答案：B解析：由图表信息可知讲座后问卷答题的正确率的平均数为，故选：B.3.答案：A解析：4.答案：B解析：该多面体的体积一个长方体体积减去一个三棱柱的体积得到，即，故选：B.5.答案：C解析：6.答案：B解析：7.答案：A解析：设，所以为奇函数，排除BD，令，则，排除C，故选A.8.答案：B解析：9.答案：D解析：BD与平面ABCD即，与平面即，则，设，则，由长方体对角线长公式，得，从而，AB与平面所成的角的正弦值为，与平面所成的角的正弦值为.10.答案：C解析：如图，甲、乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆，设圆的半径（即圆锥母线）为3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为，高分别为，则，则，由勾股定理，得，所以.11.答案：C解析：12.答案：A解析：13.答案：解析：14.答案：解析：15.答案：2（答案不唯一，只要即可）解析：16.答案：解析：令，以D为坐标原点，DC为x轴建立直角坐标系，则，.当且仅当，即时取等号.17.答案：（1）0.923，0.75（2）见解析解析：（1）甲城一共调查了260辆车，其中有240辆准点，故甲城准点的概率，乙城一共调查了240辆，其中有210辆准点，故乙城准点的概率.（2）准点班次数未准点班次数合计A24020260B21030240合计45050500所以有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关18.答案：（1）证明见解析（2）-78解析：（1）由已知得.当时，原式恒成立当时，；两式相减得：，整理得：，因为，故，所以，所以数列是公差为1的等差数列.（2）由（1）；由题意，即，化简得：故因为，所以或时，19.答案：（1）见解析（2）解析：（1）过点E作于点，过点F作于点，连接底面ABCD是边长为8的正方形，、均为正三角形，且它们所任的平面都与平面ABCD垂直，平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，面ABCD.（2）20.答案：（1）（2）解析：21.答案：（1）C的方程为；（2）AB的直线方程为.解析：22.答案：（1）；（2）与交点为和：与交点为和.解析：23.答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析.解析：