第四章数列 4.1等差数列的通项与求和一、知识导学1. 数列：按一定次序排成的一列数叫做数列2. 项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第 1项（或首 项），第2项，第n项，.3. 通项公式：一般地，如果数列 an的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来 表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式4. 有穷数列：项数有限的数列叫做有穷数列 .5. 无穷数列：项数无限的数列叫做无穷数列6. 数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出ai,a 2,然后用递推关系逐一写出数列中的项.7. 等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表小.8. 等差中项：如果a, A, b这三个数成等差数列， 那么A= .我们把入=- 叫做a和b的等差中项.二、疑难知识导析1. 数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数； （3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集（1, 2, 3,，n）的函数.2. 一个数列的通项公式通常不是唯一的.5（n 1）,* 3. 数列an的刖n项的和Sn与an之间的关系：an右a1适合Sn Sn 1 （n 2）.an（n2）,则an不用分段形式表示，切不可不求ai而直接求an.4. 从函数的角度考查等差数列的通项公式：an= a 1+（n-1）d=d - n+ a 1-d, a n是关于n的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n, a”）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列5、 对等差数列的前 n项之和公式的理解：等差数列的前n项之和公式可变形为Sndn2（a1d）n,若令 A= d，B= a1 d,则 Sn = An2+Bn.22226、在解决等差数列问题时，如已知， a, an, d, Sn , n中任意三个，可求其余两个。三、经典例题导讲例1已知数列1, 4, 7, 10,，3n+7，其中后一项比前一项大 3. （1）指出这个数列的通 项公式；（2）指出1+4+ （3n 5）是该数列的前几项之和.错解：（1） an=3n+7;1+4+ (3n 5)是该数列的前 n项之和.错因：误把最后一项(含n的代数式)看成了数列的通项.(1)若令n=1,ai=10 1,显然3n+7 不是它的通项.正解：(1) an=3n 2;1+4+ - + (3n 5)是该数列的前 n 1项的和.例2已知数列an的前n项之和为 Sn 2n正解：由题意: n Sn n2 n 1求数列an的通项公式。错解： an2n2 n 2(n 1)2 (n 1) 4n 3 ann2 n 1 (n 1)2 (n 1) 1 2n错因：在对数列概念的理解上，仅注意了an= Sn- Sn-1与的关系，没注意 a1=S.正解： 当n 1时，a1S11当 n 2时，an 2n2 n 2(n 1)2 (n 1) 4n 3经检验n 1时a1 1也适合，an 4n 3当n 1时，a1S1 3当 n 2时，ann2n 1 (n 1)2 (n 1) 1 2n3(n 1), , an2n(n 2)例3已知等差数列 an的前n项之和记为凯S10=10 , S30=70,则$。等于。错解：S30= S10 - 2d. d = 30,S40= S30+d =100.错因：将等差数列中 Sm, S 2m Sm, S 3m &m成等差数列误解为 S S 2吗S 3m成等差数列.10a10 91030a130 297015120。代入得S40 = 40aS 7n 1. a.例4等差数列 an、 bn的前n项和为Sn、Tn.若 (n N ),求 ;Tn4n 27b7错解：因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，故由题意令an=7n+1;bn=4n+27.a? b?7 7 110114 72?错因:误认为3OnTnbn正解：a? a?a?3? 13192b? b?b?T134 132?9例5已知一个等差数列 an的通项公式an=25-5n,求数列| an |的前n项和;错解：由an 0得n 5an前5项为非负，从第6项起为负,S=ai+a2+a3+a4+a5=50(n5)当 n 6 时，S= | a6 | + | a? |+ + Ian(205 n )( n 5 )250Sn= (20 5n)(n 5)错因：一、把n 5理解为n=5,二、把“前n项和误认为从 n 6起”的和.n(45 5n)正解：250, n 6(20 5n)(n 5)10项的和是310,前20项的和是1220,解:理由如下:由题设:S10310S20 1220得.10a145d310a1420a1190d1220d6n(n1) c c 2Sn4n6 3n n2例？已知：an1024 lg21 n ( ig 2 0.3010)大？ （ 2）前多少项之和的绝对值最小?例6已知一个等差数列的前由此可以确定求其前 n项和的公式吗?（1）问前多少项之和为最解：（1 ）an 1024 (1 n) lg2 an 11024 nlg2 01024ig2102413401 n 3403lg2Sn1024n 0( lg2) 0当Sn0或Sn近于0时其和绝对值最小令：Snn(n 1), 0 即 1024+ 2( lg 2)得：n2048 1 ig26804.99 n 6805例8项数是2n的等差数列,中间两项为anffi an2是万程x px q 0的两根,求证此数列的和S2n是方程lg2 x(lg n22、.lg p )lg x2(lg n lg p) 0的根。(S2n0)证明：依题意V a1 a2n2n(ai a2n)np(lg n2 lg p2)lg x(lg nlg p)2 0lg np)20（获证）四、典型习题导练1 .已知a13且anSn 12n，求 an 及 Sn o2.设 an,3 4Jn(n 1),求证:n(n 1)2an(n1)223.求和：4.求和：(1002 992) (982 972)(42 32)(2212)5.已知a,b,c依次成等差数列，求证:a2bc,b2 ac,c2 ab依次成等差数列.6.在等差数列 an中，a5 a1340a8 a9a10A. 72B. 60 C. 48 D. 367.已知an是等差数列，且满足 am n,anm(mn），则am n等于8.已知数列1，成等差数列，且 a3 an 211:,a56 4.2等比数列的通项与求和一、知识导学1. 等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示.的等比中项.(q 1)(q 1)因此q也不为0.2. 等比中项：若a, G, b成等比数列，则称G 为a和bn a13. 等比数列的前n项和公式：Sna1(1 qn)a1 an q1 q 1 q二、疑难知识导析1. 由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0,2. 对于公比q,要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒.3. “从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从.第2项或第3项起是一个等比数列.4. 在已知等比数列的 a1和q的前提下，利用通项公式 an=a1qn-1，可求出等比数列中的任 一项.5. 在已知等比数列中任意两项的前提下，使用an=anqnm可求等比数列中任意一项.6. 等比数列 an的通项公式an=a1qn-1可改写为an 色qn.当q0,且q 1时，y=qxq是一个指数函数，而y 色qx是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列an q的图象是函数y 鱼qx的图象上的一群孤立的点.q7. 在解决等比数列问题时，如已知，a, an, d, Sn , n中任意三个，可求其余两个。三、经典例题导讲例1已知数列an的前n项之和Sn=aqn (a 0, q 1, q为非零常数)，则an为()。A. 等差数列B. 等比数列C. 既不是等差数列，也不是等比数列D. 既是等差数列，又是等比数列错解：an 1 Sn 1 Sn aqn 1 aqn aqn(q 1)n 1 .an Sn Sn1 aq (q 1)an为等比数列，即Bo错因：忽略了anSn Sni中隐含条件n 1.正解：当 n = 1 时，ai=Si= aq;当 n1 时，an Sn Sn 1 aqn 1(q 1)a2a1an既不是等差数列，也不是等比数列，选 C 例2已知等比数列 an的前n项和记为S, S0=10 , S30=70，则$0等于.错解：&0= S10 - q 2. q 2=乙 q =y/7 ,S 40= S 30 q =70寸 7 .错因：是将等比数列中Sm, S 2m Sm, S 3m &m成等比数列误解为Sm, S 2m, S 3m成等比数列.正解：由题意:10%(1 q )1 qM1q30)1 q10得70a1广 10q102 或 q103(舍去)$0= (1q40)200.例3求和：a