4.1.2圆的一般方程1.1.掌握圆的一般方程的形式，熟练掌握圆的两种方程的互化掌握圆的一般方程的形式，熟练掌握圆的两种方程的互化.2.2.会用待定系数法求圆的一般方程会用待定系数法求圆的一般方程.3.3.了解几种求轨迹方程的方法了解几种求轨迹方程的方法.(1)(1)形式：形式：x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0,+Dx+Ey+F=0,化化为标为标准方程准方程为为_._.(2)(2)条件：条件：_,_,圆圆心心为为_,_,半径半径为为_._.特特别别地地,当当D D2 2+E+E2 2-4F=0-4F=0时时,方程表示点：方程表示点：_._.当当D D2 2+E+E2 2-4F0-4F0-4F0不表示任何不表示任何图图形形1.“1.“判一判判一判”理清知理清知识识的疑惑点的疑惑点(正确的打正确的打“”“”,错误错误的打的打“”).”).(1)(1)平面内任一平面内任一圆圆的方程都是关于的方程都是关于x,yx,y的二元二次方程的二元二次方程.(.()(2)(2)圆圆的一般方程和的一般方程和圆圆的的标标准方程可以互化准方程可以互化.(.()(3)(3)形如形如x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0的方程都表示的方程都表示圆圆.(.()(4)(4)方程方程x x2 2+y+y2 2-2x+Ey+1=0-2x+Ey+1=0表示表示圆圆,则则E0.(E0.()提示：提示：(1)(1)正确正确.因为因为 可化为可化为x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0,+Dx+Ey+F=0,均是关于均是关于x,yx,y的二元二次方程的二元二次方程.(2)(2)正确正确.圆的一般方程与圆的标准方程可以互化圆的一般方程与圆的标准方程可以互化.(3)(3)错误错误.少了条件少了条件D D2 2+E+E2 2-4F0.-4F0.(4)(4)正确正确.因为因为D D2 2+E+E2 2-4F=4+E-4F=4+E2 2-40,-40,则则E0.E0.答案：答案：(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)2.“2.“练练一一练练”尝试尝试知知识识的的应应用点用点(请请把正确的答案写在横把正确的答案写在横线线上上).).(1)(1)圆圆的的标标准方程准方程(x-1)(x-1)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=1=1化化为为一般方程一般方程为为.(2)(2)若若圆圆的一般方程的一般方程为为x x2 2+y+y2 2+4x+2=0,+4x+2=0,则圆则圆心坐心坐标为标为,半径半径为为.(3)(3)若方程若方程x x2 2+y+y2 2-x+y+m=0-x+y+m=0表示表示圆圆的方程的方程,则则m m的取的取值值范范围围是是.【解析解析】(1)(1)因为因为(x-1)(x-1)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=1,=1,所以所以x x2 2+y+y2 2-2x-6y+9=0.-2x-6y+9=0.答案：答案：x x2 2+y+y2 2-2x-6y+9=0-2x-6y+9=0(2)(2)因为因为x x2 2+y+y2 2+4x+2=0+4x+2=0化为标准方程为化为标准方程为(x+2)(x+2)2 2+y+y2 2=2,=2,所以圆心为所以圆心为(-2,0),(-2,0),半径为半径为 .答案：答案：(-2,0)(-2,0)(3)(3)因为方程因为方程x x2 2+y+y2 2-x+y+m=0-x+y+m=0表示圆的方程表示圆的方程,所以所以(-1)(-1)2 2+1+12 2-4m0,-4m0,所以所以m .m .答案：答案：mm0,-4F0,通常情况下先配成通常情况下先配成(x-(x-a)a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=m,=m,通过观察通过观察m m与与0 0的关系的关系,说明方程是否为圆的一般说明方程是否为圆的一般方程方程,而不要死记条件而不要死记条件D D2 2+E+E2 2-4F0.-4F0.类型类型 一一 二元二次方程与二元二次方程与圆圆的关系的关系尝试尝试完成下列完成下列题题目目,归纳归纳一个关于一个关于x,yx,y的二元二次方程表的二元二次方程表示示圆圆的两种判断方法的两种判断方法.1.(20131.(2013晋江高一晋江高一检测检测)方程方程x x2 2+y+y2 2+2x-4y-6=0+2x-4y-6=0表示的表示的图图形是形是 ()A.A.以以(1,-2)(1,-2)为圆为圆心心,为为半径的半径的圆圆B.B.以以(1,2)(1,2)为圆为圆心心,为为半径的半径的圆圆C.C.以以(-1,-2)(-1,-2)为圆为圆心心,为为半径的半径的圆圆D.D.以以(-1,2)(-1,2)为圆为圆心心,为为半径的半径的圆圆2.2.方程方程x x2 2+y+y2 2-4mx+2my+20m-20=0-4mx+2my+20m-20=0能否表示能否表示圆圆?若能表示若能表示圆圆,求求出出圆圆心和半径心和半径.【解题指南解题指南】1.1.将圆的一般方程化为标准方程即可确定圆心将圆的一般方程化为标准方程即可确定圆心与半径与半径.2.2.本题可直接利用本题可直接利用D D2 2+E+E2 2-4F0-4F0是否成立来判断是否成立来判断,也可把左端配也可把左端配方方,看右端是否为大于零的常数看右端是否为大于零的常数.【解析解析】1.1.选选D.D.将方程将方程x x2 2+y+y2 2+2x-4y-6=0+2x-4y-6=0化为化为(x+1)(x+1)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=11,=11,因此因此,圆心为圆心为(-1,2),(-1,2),半径为半径为 .2.2.方法一：由方程方法一：由方程x x2 2+y+y2 2-4mx+2my+20m-20=0,-4mx+2my+20m-20=0,可知可知D=-4m,E=2m,F=20m-20,D=-4m,E=2m,F=20m-20,所以所以D D2 2+E+E2 2-4F=16m-4F=16m2 2+4m+4m2 2-80m+80=20(m-2)-80m+80=20(m-2)2 2,因此因此,当当m=2m=2时时,D,D2 2+E+E2 2-4F=0,-4F=0,它表示一个点它表示一个点,当当m2m2时时,D,D2 2+E+E2 2-4F0,-4F0,原方程表示圆的方程原方程表示圆的方程,此时此时,圆的圆心为圆的圆心为(2m,-m),(2m,-m),半径为半径为方法二：原方程可化为方法二：原方程可化为(x-2m)(x-2m)2 2+(y+m)+(y+m)2 2=5(m-2)=5(m-2)2 2,因此因此,当当m=2m=2时时,它表示一个点它表示一个点,当当m2m2时时,原方程表示圆的方程原方程表示圆的方程.此时此时,圆的圆心为圆的圆心为(2m,-m),(2m,-m),半径为半径为r=|m-2|.r=|m-2|.【技法点拨技法点拨】方程方程x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0表示圆的两种判断方法表示圆的两种判断方法(1)(1)配方法配方法.对形如对形如x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0的二元二次方程可以通过的二元二次方程可以通过配方变形成配方变形成“标准标准”形式后形式后,观察是否表示圆观察是否表示圆.(2)(2)运用圆的一般方程的判断方法求解运用圆的一般方程的判断方法求解.即通过判断即通过判断D D2 2+E+E2 2-4F-4F是是否为正否为正,确定它是否表示圆确定它是否表示圆.提醒：提醒：在利用在利用D D2 2+E+E2 2-4F0-4F0来判断二元二次方程是否表示圆时来判断二元二次方程是否表示圆时,务必注意务必注意x x2 2及及y y2 2的系数的系数.类型类型 二二 圆圆的一般方程的求法的一般方程的求法通通过过解答下列求解答下列求圆圆的一般方程的的一般方程的题题目目,试总结试总结用待定系数用待定系数法求法求圆圆的一般方程的步的一般方程的步骤骤及两种方程形式及两种方程形式选择选择的的标标准准.1.1.过过点点(-1,1),(-1,1),且且圆圆心与心与圆圆x x2 2+y+y2 2-6x-8y+15=0-6x-8y+15=0的的圆圆心相同的心相同的圆圆的方程是的方程是.2.2.已知一个已知一个圆过圆过P(4,2),Q(-1,3)P(4,2),Q(-1,3)两点两点,且在且在y y轴轴上截得的上截得的线线段段长为长为 ,求求圆圆的方程的方程.【解题指南解题指南】1.1.根据所给圆的方程求出圆心坐标根据所给圆的方程求出圆心坐标,再代入设出再代入设出的方程求解的方程求解.2.2.设出圆的一般方程设出圆的一般方程,由圆过由圆过P,QP,Q两点可得两个方程两点可得两个方程,再根据圆再根据圆在在y y轴上截得的线段长可得到一个方程轴上截得的线段长可得到一个方程,通过解方程组可求出通过解方程组可求出圆的方程圆的方程.【解析解析】1.1.设所求圆的方程为设所求圆的方程为x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0.+Dx+Ey+F=0.由已知该圆圆心为由已知该圆圆心为(3,4),(3,4),且过点且过点(-1,1),(-1,1),故故 所以圆的方程为所以圆的方程为x x2 2+y+y2 2-6x-8y=0.-6x-8y=0.答案：答案：x x2 2+y+y2 2-6x-8y=0-6x-8y=02.2.设圆的方程为设圆的方程为x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0.+Dx+Ey+F=0.令令x=0,x=0,得得y y2 2+Ey+F=0.+Ey+F=0.由已知由已知|y|y1 1-y-y2 2|=4 ,|=4 ,其中其中y y1 1,y,y2 2是方程是方程y y2 2+Ey+F=0+Ey+F=0的两根的两根,所以所以(y(y1 1-y-y2 2)2 2=(y=(y1 1+y+y2 2)2 2-4y-4y1 1y y2 2=E=E2 2-4F=48.-4F=48.将将P,QP,Q两点的坐标分别代入方程两点的坐标分别代入方程,得得解解联立的方程组联立的方程组,得得故圆的方程为故圆的方程为x x2 2+y+y2 2-2x-12=0-2x-12=0或或【互动探究互动探究】若题若题2 2条件不变条件不变,试判断原点试判断原点(0(0，0)0)与圆的位置与圆的位置关系关系.【解析解析】(1)(1)若圆的方程为若圆的方程为x x2 2+y+y2 2-2x-12=0,-2x-12=0,因为因为0 02 2+0+02 2-20-12=-12-20-12=-120,0,所以原点所以原点(0(0，0)0)在圆内在圆内.(2)(2)若圆的方程为若圆的方程为因为因为所以原点所以原点(0,0)(0,0)在圆外在圆外.【技法点拨技法点拨】1.1.待定系数法求圆的方程的三个步骤待定系数法求圆的方程的三个步骤(1)(1)根据题意根据题意,选择标准方程或一般方程选择标准方程或一般方程.(2)(2)根据条件列出关于根据条件列出关于a,b,ra,b,r或或D,E,FD,E,F的方程组的方程组.(3)(3)解出解出a,b,ra,b,r或或D,E,F,D,E,F,代入标准方程或一般方程代入标准方程或一般方程.2.2.对圆的一般方程和标准方程的选择对圆的一般方程和标准方程的选择(1)(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径来列方程的问题坐标或半径来列方程的问题,一般采用圆的标准方程一般采用圆的标准方程,再用待再用待定系数法求出定系数法求出a,b,r.a,b,r.(2)(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系如果已知条件和圆心或半径都无直接关系,一般采用圆的一般采用圆的一般方程一般方程,再利用待定系数法求出常数再利用待定系数法求出常数D,E,F.D,E,F.提醒：提醒：当条件与圆的圆心和半径有关时当条件与圆的圆心和半径有关时,常设圆的标准方程常设圆的标准方程;条件与点有关时条件与点有关时,常设圆的一般方程常设圆的一般方程.【拓展类型拓展类型