理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.18三次三次样样条插条插值值2Lagrange插插值值1引言引言7分段低次插分段低次插值值6Hermite插插值值5差分与等距差分与等距节节点插点插值值公式公式4均差与均差与Newton插插值值公式公式3逐次逐次线线性插性插值值法法(自学自学)9评评述述第二章第二章插插值值法法数值分析第二章插值法理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.2上的函数上的函数值值，即已知函数表，即已知函数表例：例：设设在在实际问题实际问题中，某些中，某些变变量之量之间间的函数的函数关系是存在的，但通常不能用式子表示，只能关系是存在的，但通常不能用式子表示，只能由由实验实验、观测观测得到得到在一系列离散点在一系列离散点第一第一节节引引言言一、一个一、一个实实例例那么如何那么如何计计算算？数值分析第二章插值法理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.3 设设y=f(x)是区是区间间a,b 上的一个上的一个实实函数函数,xi(i=0,1,.,n)是是a,b上上n+1个互异个互异实实数数,称称为为节节点点。已。已知知y=f(x)在点在点xi 的的值值 yi=f(xi)(i=0,1,.,n),求一求一简单简单函数函数P(x)，满满足足 P(xi)=yi (i=0,1,.,n)(2.11)二、插二、插值问题值问题的一般性提法的一般性提法 即即简单简单函数函数P(x)的曲的曲线线要要经过经过 上已上已知的知的n+1个点个点数值分析第二章插值法理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.4同同时时在其它点在其它点上估上估计误计误差差为为YX数值分析第二章插值法理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.5 若若p(x)是次数不超是次数不超过过n的代数多的代数多项项式式,即即（2.12）则则称称p(x)为为插插值值多多项项式，相式，相应应的插的插值值法称法称为为多多项项式式插插值值。若。若p(x)为为分段多分段多项项式，就是分段插式，就是分段插值值。若。若p(x)为为三角多三角多项项式，就是三角插式，就是三角插值值,还还有有理插有有理插值值等。本等。本章主要章主要讨论讨论多多项项式插式插值值与分段插与分段插值值。注：插注：插值值法法还还有其他有其他许许多用途，如函数的近似表示；多用途，如函数的近似表示；曲曲线线曲面曲面拟拟合；合；导导出其它数出其它数值值方法的依据（方法的依据（导导出数出数值值积积分、数分、数值值微分、微分方程数微分、微分方程数值值解）等。解）等。数值分析第二章插值法理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.6若若满满足条件的足条件的存在，又如何构造？存在，又如何构造？三、多三、多项项式插式插值问题值问题中需要研究的中需要研究的问题问题满满足插足插值值条件的多条件的多项项式式是否存在？唯一？是否存在？唯一？用用近似代替近似代替的的误误差估差估计计？数值分析第二章插值法理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.7定理定理1设节设节点点xi(i=0,1,n)互异互异,则则满满足插足插值值条条件件Pn(xi)=yi 的次数不超的次数不超过过n的多的多项项式存在且唯一。式存在且唯一。下面先研究第一个下面先研究第一个问题问题定理定理1不不仅仅解决了解决了问题问题1，其，其证证明明过过程也程也给给出了出了问问题题2求插求插值值多多项项式的一种方法。但一般不用式的一种方法。但一般不用这这种方法，因种方法，因为为范得蒙矩范得蒙矩阵阵一般是病一般是病态态的。即使求解的。即使求解过过程是精确的，多程是精确的，多项项式求式求值值的的误误差也是差也是可可观观的。的。数值分析第二章插值法理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.8v拉格朗日插拉格朗日插值值多多项项式的式的优优缺点缺点v截断截断误误差差v拉格朗日插拉格朗日插值值多多项项式式v数数值实值实例例第二第二节节拉格朗日插拉格朗日插值值数值分析第二章插值法理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.9一、拉格朗日插一、拉格朗日插值值多多项项式式其中其中 1.两个互异两个互异节节点点(x0,y0),(x1,y1)且且满满足：足：数值分析第二章插值法理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.102.三个三个节节点点(x0,y0),(x1,y1)，(x3,y3)其中：其中：令令满满足：足：数值分析第二章插值法理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.113.有有n+1个互异个互异节节点点(x0,y0),(x1,y1)(xn,yn)显显然：然：设设：我我们们称称n次多次多项项式式Ln(x)为为拉格朗日插拉格朗日插值值多多项项式式，Li(x)为为插插值值基函数。基函数。显显然然满满足足(2.21)取取插插值值条件条件数值分析第二章插值法理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.12注：注：（1）插插值值基函数基函数l i(x)(i=0,1,n)仅仅由插由插值节值节点点xi(i=0,1,n)确定确定,与被插函数与被插函数f(x)无关无关.（3）对对于插于插值节值节点点,只要求它只要求它们们互异互异,与大小次序无与大小次序无关。关。（2）以）以xi(i=0,1,n)为为插插值节值节点点,函数函数f(x)1作插作插值值多多项项式式,则则由插由插值值多多项项式的唯一性立即得到基式的唯一性立即得到基函数的一个性函数的一个性质质数值分析第二章插值法理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.13数值分析第二章插值法理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.14 关于截断关于截断误误差差Rn(x)=f(x)-Ln(x)有下面定理有下面定理。定理定理2 设设f(x)在区在区间间a,b上存在上存在n+1阶导阶导数数,xi a,b(i=0,1,n)为为n+1个互异个互异节节点点,则对则对任何任何x a,b,有有且与且与x 有关有关)二、截断二、截断误误差（插差（插值值余余项项）数值分析第二章插值法理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.15 证证 由插由插值值条件和条件和 n+1(x)的定的定义义,当当x=xk 时时,式式子子显显然成立。且然成立。且x0,x1,xn 都是函数都是函数 n+1(x)的零点的零点,也是也是Rn(x)的零点，从而的零点，从而 Rn(x)可表示可表示为为 其中其中K(x)是待定函数是待定函数。对对于任意固定的于任意固定的x a,b,x xk,构造自构造自变变量量t 的的辅辅助函数助函数数值分析第二章插值法理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.16 由式由式 n+1(xk)=0和式和式Ln(xk)=yk(k=0,1,n),以及以及可知：可知：x0,x1,xn和和x是是 (t)在区在区间间a,b上的上的n+2个个互异零点互异零点,因此根据因此根据罗罗尔尔(Rolle)定理定理,至少存在一点至少存在一点 =(x)(a,b),使使即即所以所以数值分析第二章插值法理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.17注注：1.余余项项表达式只有在高表达式只有在高阶导阶导数存在数存在时时才能使用。才能使用。2.在（在（a，b）内的具体位置通常不能）内的具体位置通常不能给给出。出。3.一般一般说说来，外插比内插效果差。来，外插比内插效果差。4.数值分析第二章插值法理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.18 例例已知已知sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用用Lagrange插插值计值计算算sin0.3367的的值值，并估，并估计计截断截断误误差。差。解：解：f(x)=sinx,取取三、数三、数值实值实例例数值分析第二章插值法理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.19于是有于是有可以可以发现发现，结结果与有六位有效数字的果与有六位有效数字的sin x表完全一致。表完全一致。数值分析第二章插值法理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.20截断截断误误差差为为其中其中故有故有数值分析第二章插值法理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.21记记插值点插值点sin0.3367实际误差实际误差备注备注(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2)0.3303740.000000内插比外插内插比外插效果好效果好 Matlab eg2_1(x0,y0),(x1,y1)0.3303650.000009(x1,y1),(x2,y2)0.3303870.000013数值分析第二章插值法理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.22四、四、Lagrange插插值值公式公式优优缺点缺点n优优点：点：结结构清晰、构清晰、紧紧凑，适用于作理凑，适用于作理论论分分析；析；n缺点：当