武汉大学2020年强基计划数学试题学校:姓名：班级：考号：一、单选题1设圆的半径为3，其一条弦，为圆上任意一点，则的最大值为（ ）A0 B1 C3 D42设实数满足，则的最小值为（ ）A0 B2 CD3过椭圆的中心作两条互相垂直的弦和，顺次连接得一四边形，则该四边形的面积可能为（ ）A10 B12 C14 D164两个半径为实心球体，它们的球心相距.设包含这两个实心球体的最小实心球的体积为，则（ ）ABCD5空间图形的体积为（ ）ABCD6设A是集合的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A的个数为（ ）A32 B56 C72 D847已知直线，动点在椭圆上，作交于点，作交于点.若为定值，则（ ）ABCD8圆周上有10个等分点，以这10个等分点的4个点为顶点构成四边形，其中梯形的个数为（ ）A10 B20 C40 D609设函数，则下列错误的是（ ）A方程有解B方程在内解的个数为偶数C的图像有对称轴D的图像有对称中心二、多选题10设的内角的对边分别为.若，则（ ）ABC的面积最大值为D的周长最大值为11设正整数使得关于的方程在区间内恰有个实根，则（ ）ABCD，成等差数列12如图，延长圆的一条弦至，过点作圆的切线，切点分别为，为上一点，满足，则下列结论正确的是（ ）ABCD13设函数则（ ）A当有极小值时，B当有极大值时，C当连续时，的可能值有3个D当有2极值点时，或14设复数的实部和虚部都是整数，则（ ）A的实部都能被2 整除B的实部都能被3 整除C的实部都能被4 整除D的实部都能被5 整除15设是非零复数，它们的实部和虚部都是非负实数，则（ ）A最小值为B没有最小值 C最大值为2 D没有最大值参考答案1D【分析】通过基底转化，将转化，其中，能够直接与求出数量积，能够求出与数量积的表达式，且可以判断范围，从而确定数量积的最大值【详解】将所求数量积进行转化得：，如上图所示，根据投影定理可得：，为所成角，因为为圆上任意一点，所以时，取得最大值12，此时，则的最大值为4故选：D2C【分析】由，两边平方，设，则，代入平方表达式，再设，利用，解出即可【详解】解：设，则，设，即，解得或（舍去），的最小值是，故选：3B【分析】设,，设x轴正方向旋转到与向量同向所转过的角为，利用三角函数的定义表示的坐标，代入椭圆方程，求得关于的函数表达式，进而得到关于的函数表达式，利用三角函数恒定变形化简，然后利用三角函数的性质求得其取值范围，进而得到四边形面积的取值范围，从而做出选择.【详解】设,，设x轴正方向旋转到与向量同向所转过的角为，并根据题意不妨设到为逆时针旋转,则,，,，,当时取到最小值，当时取得最大值.只有选项B中的12在此范围内，故选：B.4B【分析】求出包含这两个实心球体的最小实心球的半径为，求出，再求极限即可求解.【详解】包含两个实心球体的最小实心球的半径为，则，所以，故选：B.5B【分析】先由可确定在围成的正方体内，再分别考虑的图形即可【详解】如图，易得在围成的正方体内，又，故可得构成的图形为边长为1的正方体内的一个三棱锥，故体积为故选：B【点睛】遇到几个不等式围成的空间图形，可分步分析，先确定大致范围，再逐步精细6B【分析】分类列举出每一种可能性即可得到答案.【详解】若1,3在集合A内，则还有一个元素为5,6,7,8,9,10中的一个；若1,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；若1,8在集合A内，则还有一个元素为10；共有6+5+4+3+2+1=21个.若2,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；若2,5在集合A内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；若2,8在集合A内，则还有一个元素为10；共有5+4+3+2+1=15个.若3,5在集合A内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；若3,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；若3,8在集合A内，则还有一个元素为10；共有4+3+2+1=10个.若4,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；若4,7在集合A内，则还有一个元素为9,10中的一个；若4,8在集合A内，则还有一个元素为10；共有3+2+1=6个.若5,7在集合A内，则还有一个元素为9,10中的一个；若5,8在集合A内，则还有一个元素为10；共有2+1=3个.若6,8,10在在集合A内，只有1个.总共有21+15+10+6+3+1=56个故选：B.7C【分析】根据四边形OMPN是平行四边形，得到为定值，然后将取特殊位置，求解.【详解】如图所示：，易知由四边形OMPN是平行四边形，所以为定值，取点时，由，解得，所以，由对称性得：，所以，取点时，由，解得，所以，由对称性得：，所以，所以，即，故选：C8D【分析】把10个点看成5条线段的组合，再利用组合公式计算即可.【详解】梯形的两条边平行，可以从5组平行于直径的5条平行弦中选取，也可以从5组不平行于直径的4条平行弦中选取，去除矩形后，梯形共有60个.故选：D9A【分析】利用三元均值不等式判断A，首先判断函数的周期性，再画出函数图象，数形结合即可判断B，根据周期性公式及对称性公式判断C、D；【详解】解：对于A：考虑时的最大值，故，当时仅当时取到，故A错误；对于B：因为，所以是以为周期的周期函数，函数图象如下所示：所以方程在内解的个数为偶数，故B正确；对于C：因为，所以，所以，所以为的一条对称轴，故C正确；对于D：因为，所以，所以，所以为函数的对称中心，故D正确；故选：A10AC【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式以及基本不等式化简即可。【详解】由化简得：因为所以故A正确又由当且仅当时取等号三角形的周长由余弦定理得因为（当且仅当时取等号）所以，排除D故选:AC11ABC【分析】利用函数图象，结合图象判断每个选项即可.【详解】解：如图所示，函数与函数恰有个交点.选项A，根据对称性可知，正确；选项B，考虑在区间内，两函数在时相切，所以，所以满足，而，所以，正确；选项C，两函数在时相切，所以，所以，正确；选项D，若，成等差数列，则因为，关于原点对称，所以必有，即，则，则，故不符合题意，错误.故选：ABC.12ABCD【分析】根据弦切角定理和圆周角定理可得：，可判断ABC，由圆的切割线的性质可判断D，进而可得正确选项.【详解】根据弦切角定理和圆周角定理可得：，对于A：在和中，所以，故选项A正确；对于B：在和中，所以，故选项B正确；对于C:在和中，因为，所以，所以，故选项C正确；对于D：因为所以，因为，所以，所以，所以，所以，故选项D正确；故选：ABCD.13BC【分析】作出和的图象,由图象依次判断各选项即可得出结果.【详解】作出和的图象,如图,有两个极值点.对于选项A,当时，有极小值，A错误；对于选项B,当有极大值时，所以B正确；选项C,要使连续，则必须取在和的交点处，这样的恰有三个,故C正确；对于选项D,要有两个极值点，则或，故D错误.故选：BC.14BD【分析】设分别计算出代入化简即可.【详解】设则因为可以被2整除，当为奇数时不能被2整除，故排除A.因为，由费马小定理得能被3整除，故B对.的实部为，当为奇数时也为奇数，故不能被4整除，C排除.的实部为，由费马小定理能被5整除，故能被5整除，故D对.故选：BD15AD【分析】在复平面内（为坐标原点），设复数对应的点分别为，利用复数的几何意义及向量的加法和平面向量数量积，将进行等价变形，然后结合已知条件及均值不等式即可判断的最值情况.【详解】解：在复平面内（为坐标原点），设复数对应的点分别为，因为是非零复数，它们的实部和虚部都是非负实数，所以，从而有），所以，又由均值不等式有，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当，且（比如）时等号成立.故选：AD.