编号:_九年级数学上册（人教版）教案作 者:_审 核:_日 期:_年_月_日九年级数学上册（人教版）教案 1. 1 一元二次方程 1. 通过类比一元一次方程， 了解一元二次方程的概念及一般式 ax2bx0（a0）， 分清二次项及其系数、 一次项及其系数与常数项等概念。 2. 了解一元二次方程的解的概念， 会检验一个数是不是一元二次方程的解。 重点 通过类比一元一次方程， 了解一元二次方程的概念及一般式 ax2bx0（a0）和一元二次方程的解等概念， 并能用这些概念解决简单问题。 难点 一元二次方程及其二次项系数、 一次项系数和常数项的识别。 活动 1 复习旧知 1. 什么是方程？ 你能举一个方程的例子吗？ 2. 下列哪些方程是一元一次方程？ 并给出一元一次方程的概念和一般形式。 （1）2x1 （2）xn0 （3）1x10 （4）x21 3. 下列哪个实数是方程 2x13 的解？ 并给出方程的解的概念。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 活动 2 探究新知 根据题意列方程。 1. 教材第 2 页 问题 1 提出问题： （1）正方形的大小由什么量决定？ 本题应该设哪个量为未知数？ （2）本题中有什么数量关系？ 能利用这个数量关系列方程吗？ 怎么列方程？ （3）这个方程能整理为比较简单的形式吗？ 请说出整理之后的方程。 2. 教材第 2 页 问题 2 提出问题： （1）本题中有哪些量？ 由这些量可以得到什么？ （2）比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？ 如果有个队参赛， 每个队比赛几场？ 一共有20 场比赛吗？ 如果不是 20 场比赛， 那么究竟比赛多少场？ （3）如果有 x 个队参赛， 一共比赛多少场呢？ 3. 一个数比另一个数大 3， 且两个数之积为 0， 求这两个数。 提出问题： 本题需要设两个未知数吗？ 如果可以设一个未知数， 那么方程应该怎么列？ 4. 一个正方形的面积的 2 倍等于 2， 这个正方形的边长是多少？ 活动 3 归纳概念 提出问题： （1）上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？ （2）类比一元一次方程， 我们可以给这一类方程取一个什么名字？ （3）归纳一元二次方程的概念。 1. 一元二次方程： 只含有_个未知数， 并且未知数的最高次数是_， 这样的_方程， 叫做一元二次方程。 2. 一元二次方程的一般形式是 ax2bx0（a0）， 其中 ax2 是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项， b 是一次项系数； 是常数项。 提出问题： （1）一元二次方程的一般形式有什么特点？ 等号的左、 右分别是什么？ （2）为什么要限制 a0， b， 可以为 0 吗？ （3）2x2x10 的一次项系数是 1 吗？ 为什么？ 3. 一元二次方程的解（根）： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）。 活动 4 例题与练习 例 1 在下列方程中， 属于一元二次方程的是_。 （1）4x281； （2）2x213； （3）1x21x2； （4）2x22x（x7）0 总结： 判断一个方程是否是一元二次方程的依据： （1）整式方程； （2）只含有一个未知数； （3）含有未知数的项的最高次数是 2 注意有些方程化简前含有二次项， 但是化简后二次项系数为0， 这样的方程不是一元二次方程。 例 2 教材第 3 页 例题。 例 3 以2 为根的一元二次方程是（ ） A. x22x10 B. x2x20 C. x2x20 D. x2x20 总结： 判断一个数是否为方程的解， 可以将这个数代入方程， 判断方程左、 右两边的值是否相等。 练习： 1. 若（a1）x23ax10 是关于 x 的一元二次方程， 那么 a 的取值范围是_。 2. 将下列一元二次方程化为一般形式， 并分别指出它们的二次项系数、 一次项系数和常数项。 （1）4x281； （2）（3x2）（x1）8x3 3. 教材第 4 页 练习第 2 题。 4. 若4 是关于 x 的一元二次方程 2x27x0 的一个根， 则的值为_。 答案： 1a1； 2 略； 3 略； 44 活动 课堂小结与作业布置 课课堂小结 我们学习了一元二次方程的哪些知识？ 一元二次方程的一般形式是什么？ 一般形式中有什么限制？ 你能解一元二次方程吗？ 作业布置 教材第 4 页 习题 211 第 17 题 212 解一元二次方程 21. 21 配方法（3 时） 第 1 时 直接开平方法 理解一元二次方程“降次”转化的数学思想， 并能应用它解决一些具体问题。提出问题， 列出缺一次项的一元二次方程 ax20， 根据平方根的意义解出这个方程， 然后知识迁移到解 a（exf）20 型的一元二次方程。 重点 运用开平方法解形如（x）2n（n0）的方程， 领会降次转化的数学思想。 难点 通过根据平方根的意义解形如 x2n 的方程， 将知识迁移到根据平方根的意义解形如（x）2n（n0）的方程。 一、 复习引入 学生活动： 请同学们完成下列各题。 问题 1： 填空 （1）x28x_（x_）2； （2）9x212x_（3x_）2； （3）x2px_（x_）2 解： 根据完全平方公式可得： （1）16 4； （2）4 2； （3）（p2）2 p2 问题 2： 目前我们都学过哪些方程？ 二元怎样转化成一元？ 一元二次方程与一元一次方程有什么不同？ 二次如何转化成一次？ 怎样降次？ 以前学过哪些降次的方法？ 二、 探索新知 上面我们已经讲了 x29， 根据平方根的意义， 直接开平方得 x3， 如果 x 换元为 2t1，即（2t1）29， 能否也用直接开平方的方法求解呢？ （学生分组讨论） 老师点评： 回答是肯定的， 把 2t1 变为上面的 x， 那么 2t13即 2t13， 2t13方程的两根为 t11， t22 例 1 解方程： （1）x24x41 （2）x26x92 分析： （1）x24x4 是一个完全平方公式， 那么原方程就转化为（x2）21 （2）由已知， 得： （x3）22 直接开平方， 得： x32 即 x32， x32 所以， 方程的两根 x132， x232 解： 略。 例 2 市政府计划 2 年内将人均住房面积由现在的 10 2 提高到 144 2， 求每年人均住房面积增长率。 分析： 设每年人均住房面积增长率为 x， 一年后人均住房面积就应该是 1010x10（1x）； 二年后人均住房面积就应该是 10（1x）10（1x）x10（1x）2 解： 设每年人均住房面积增长率为 x，则： 10（1x）2144 （1x）2144 直接开平方， 得 1x12 即 1x12， 1x12 所以， 方程的两根是 x10220%， x222 因为每年人均住房面积的增长率应为正的， 因此， x222 应舍去。 所以， 每年人均住房面积增长率应为 20% （学生小结）老师引导提问： 解一元二次方程， 它们的共同特点是什么？ 共同特点： 把一个一元二次方程“降次”， 转化为两个一元一次方程。 我们把这种思想称为“降次转化思想”。 三、 巩固练习 教材第 6 页 练习。 四、 课堂小结 本节应掌握： 由应用直接开平方法解形如 x2p（p0）的方程， 那么 xp 转化为应用直接开平方法解形如（xn）2p（p0）的方程， 那么 xnp， 达到降次转化之目的。 若 p0 则方程无解。 五、 作业布置 教材第 16 页 复习巩固 1 第 2 时 配方法的基本形式理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程， 并能熟练应用它解决一些具体问题。通过复习可直接化成 x2p（p0）或（xn）2p（p0）的一元二次方程的解法， 引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤。 重点 讲清直接降次有困难， 如 x26x160 的一元二次方程的解题步骤。 难点 将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧。 一、 复习引入 （学生活动）请同学们解下列方程： （1）3x21 （2）4（x1）290 （3）4x216x169 （4）4x216x7 老师点评： 上面的方程都能化成 x2p 或（xn）2p（p0）的形式， 那么可得xp 或 xnp（p0）。 如： 4x216x16（2x4）2， 你能把 4x216x7 化成（2x4）29 吗？ 二、 探索新知 列出下面问题的方程并回答： （1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？ （2）能否直接用上面前三个方程的解法呢？ 问题： 要使一块矩形场地的长比宽多 6 ， 并且面积为 16 2， 求场地的长和宽各是多少？ （1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是： 前三个左边是含有 x的完全平方式而后二个不具有此特征。 （2）不能。 既然不能直接降次解方程， 那么， 我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面， 我们就讲如何转化： x26x160 移项x26x16 两边加（6/2）2 使左边配成 x22bxb2 的形式x26x32169 左边写成平方形式（x3）22 降次x3即 x3或 x3解一次方程x12， x28 可以验证： x12， x28 都是方程的根， 但场地的宽不能是负值， 所以场地的宽为 2 ，长为 8 像上面的解题方法， 通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法， 叫配方法。 可以看出， 配方法是为了降次， 把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程解。 例 1 用配方法解下列