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2021重庆考研数学三真题及答案一、选择题(本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求,把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.)12xt 32(1)当 x 0 时, 0 (e-1)dt 是 x7 的(A)低阶无穷小.(B)等价无穷小.(C)高阶无穷小.(D)同阶但非等价无穷小.【答案】C. x2t 3x67x2t 37【详解】因为当 x 0 时, 0 (e -1)dt确答案为 C.= 2x(e-1) : x,所以0 (e -1)dt 是 x 高阶无穷小,正 ex - 1(2)函数 f (x)= x, x 0 ,在 x = 0 处1, x = 0(A)连续且取极大值.(B)连续且取极小值.(C)可导且导数为 0.(D)可导且导数不为 0.【答案】D.【详解】因为lim f (x)= limex - 1=1 = f (0) ,故 f (x) 在 x = 0 处连续;x0x0xf (x) - f (0)ex - 1-1xe x -1 - x11因为lim= lim=lim=,故 f (0) =,正确答案为 D.x0x - 0x0x - 0x0x 222(3)设函数 f (x) = ax - b ln x (a 0) 有两个零点,则 b 的取值范围是a(A) (e, +) .(B) (0, e) .(C) (0, 1 ) .(D) ( 1 , +) .ee【答案】A.【详解】令 f (x) = ax - b ln x = 0 , f (x) = a - b ,令 f (x) = 0 有驻点 x = b , f b = a b - b ln b 1,可得 b e ,正确答案为 A. aa aaaa(4)设函数 f (x, y) 可微, f (x +1, ex ) = x(x +1) 2 , f (x, x2 ) = 2x2 ln x ,则 df (1,1) =(A) dx + dy .(B) dx - dy .(C) dy .(D) -dy .【答案】C.12【详解】 f (x +1, ex ) + ex f (x +1, ex ) = (x +1) 2 + 2x(x +1)12f (x, x2 ) + 2xf (x, x2 ) = 4x ln x + 2xx = 0x = 1分别将 y = 0 , y = 1 带入式有f1(1,1) + f2(1,1) = 1 , f1(1,1) + 2 f2(1,1) = 2联立可得 f1(1,1) = 0 , f2(1,1) = 1 , df (1,1) = f1(1,1)dx + f2(1,1)dy = dy ,故正确答案为 C.(5) 二次型 f (x , x , x ) = (x + x )2 + (x + x )2 - (x - x )2 的正惯性指数与负惯性指数依次为123122331(A) 2, 0 .(B)1,1 .(C) 2,1 .(D)1, 2 .【答案】B.【详解】 f (x , x , x ) = (x + x )2 + (x + x )2 - (x - x )2 = 2x 2 + 2x x + 2x x + 2x x12312233121 22 31 3 011 所以 A = 121 ,故特征多项式为 110 l-1| lE - A |= -1-2-1-1-1-1 = (l+1)(l- 3)ll令上式等于零,故特征值为-1, 3 , 0 ,故该二次型的正惯性指数为 1,负惯性指数为 1.故应选 B.aT 1 1 (6) 设 A = (a,a ,a,a ) 为 4 阶正交矩阵,若矩阵 B = aT , b= 1 , k 表示任意常数,1234 2 aT 1 3 则线性方程组 Bx = b的通解 x =(A)a2 +a3 +a4 + ka1 .(B)a1 +a3 +a4 + ka2 .(C)a1 +a2 +a4 + ka3 .(D)a1 +a2 +a3 + ka4 .【答案】D.【解析】因为 A = (a1,a2 ,a3 ,a4 ) 为 4 阶正交矩阵,所以向量组a1 ,a2 ,a3 ,a4 是一组标准正交向量aT 1 组, 则 r(B) = 3 , 又 Ba = a T a = 0 , 所以齐次线性方程组 Bx = 0 的通解为 ka . 而4 2 44aT 3 aT 1 1 B(a +a +a ) = a T (a +a +a ) = 1= b , 故 线 性 方 程 组Bx = b的 通 解123 2 123 aT 1 3 x = a1 +a2 +a3 + ka4 ,其中 k 为任意常数.故应选 D. 10-1(7) 已知矩阵 A = 2-11 ,若下三角可逆矩阵 P 和上三角可逆矩阵Q ,使 PAQ 为对角 -12-5矩阵,则 P , Q 可以分别取 100 101 100 100 (A) 010 , 013 .(B) 2-10 , 010 . 001 001 -321 001 100 101 100 12-3(C) 2-10 , 013 .(D) 010 , 0-12 . -321 【答案】C.【解析】 001 131 001 10-1100 10-1100 10-1100 ( A, E) = 2-11010 0-13-210 01-32-10 -12-5001 02-6101 000-321 100 = (F , P) ,则 P = 2-10 ; 10 01 -321 -1 100 -3 010 101 F 000 000 = ,则Q = 013 .故应选 C.Q E 100 101 010 013 001 001 001(8) 设 A , B 为随机事件,且0 P(B) P( A) ,则 P( A | B) P( A)(C) 若 P( A | B) P( A | B) ,则 P( A | B) P( A) .(D) 若 P( A | A U B) P( A | A U B) ,则 P( A) P(B) .【答案】D.=P( A( A U B)【详解】 P( A | A U B)P( A U B)P( A)P( A) + P(B) - P( AB)P( A | A U B) = P( A( A U B) =P( A U B)P( AB) =P( A U B)P(B) -P( AB)P( A) + P(B) - P( AB)因为 P( A | A U B) P( A | A U B) ,固有 P( A) P(B) - P( AB) ,故正确答案为 D.(9)设( X ,Y ) ,( X,Y ) ,L,( X,Y ) 为来自总体 N (m,m;s2 ,s 2;r) 的简单随机样本,令1 122nn1 n 1 n1212q= m1 - m2 , X = n X i , Y = n Yi ,q= X - Y 则i=1i=1s2 +s 2(A) E(q) =q, D(q) = 12 .n 121 2s2 +s 2 - 2rss(B) E(q) =q, D(q) =.ns +s22(C) E(q) q, D(q) = 12 .n 121 2s2 +s 2 - 2rss(D) E(q) q, D(q) =.n【答案】 B【详解】因为 X ,Y 是二维正态分布,所以 X 与Y 也服从二维正态分布,则 X - Y 也服从二维正态分布,即 E(q) = E( X - Y ) = E( X ) - E(Y ) = m1 - m2 =q,qs2 +s 2 - 2rssD( ) = D( X - Y ) = D( X ) + D(Y ) - cov( X ,Y ) = 121 2 ,故正确答案为 B.n1-q1+q(10) 设总体 X 的概率分布为 PX = 1 =, PX = 2 = PX = 3 =,利用来自总体24的样本值 1,3,2,2,1,3,1,2,可得q的最大似然估计值为(A) 1 .3(B) .(C) 1 .(D) 5 .4822【答案】 A .) (
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