秘密2022年1月19日17：00前重庆市2022年高考第一次诊断性检测高三数学【命题单位：重庆缙云教育联盟】注意事项：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；4.全卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知是三个不同的平面，且，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2若集合，则（）ABCD3魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率约为，是当时世界上最精确的圆周率结果，直到近千年后这一记录才被打破若已知的近似值还可以表示成4sin52，则的值为（）ABC8D84已知，则，的大小关系是（）ABCD5过抛物线：的焦点作两条互相垂直的弦，设为抛物线上的一动点，若，则的最小值是（）A2B3C4D56在数列中，（），则（）A1B3C6D97将方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为（）A33B56C64D788音乐是有不同频率的声音组成的，若音1（do）的频率为f，则简谱中七个音1（do）、2（er）、3（mi）、4（fa）、5（so）、6（la）、7（si）组成的音阶频率分别是f、其中相邻两个音的频率比是一个到另一个音的台阶，上述“七声音阶”只有两个不同的值，记为、（），称为全阶，称为半音，则下列关系式成立的是（）（参考数据：lg20.3010、lg30.4771）A2B2C|lglg|0.01D|lg2lg|0.01二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。9设，分别为锐角三个内角，的对边，且，则下列结论正确的是（）ABC的取值范围是D的取值范围是10众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形.其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题:其中所有正确结论的序号是（）A在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是；B当时，直线与白色部分有公共点；C黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点，则的最大值为；D若点，为圆过点的直径，线段是圆所有过点的弦中最短的弦，则的值为.11平面向量，满足，且，则下列说法正确的是（）AB在方向上的投影是1C的最大值是D若向量满足，则的最小值是12已知，且，则下列结论正确的是（）A的最大值为B的最大值为C的最小值为D的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13设圆，若等边的一边为圆的一条弦，则线段长度的最大值为_.14若的二项展开式中的常数项为，则实数a=_.15有5条同样的生产线，生产的零件尺寸（单位：）都服从正态分布，且，在每条生产线上各取一个零件，恰好有3个尺寸在区间的概率为_.16已知函数，若，使得，则_四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17如图所示，边长为2（百米）的正方形区域是某绿地公园的一个局部，环线是修建的健身步道（不计宽度），其中弯道段是抛物线的一段，该抛物线的对称轴与平行，端点是该抛物线的顶点且为的中点，端点在上，且长为（百米），建立适当的平面直角坐标系，解决下列问题.（1）求弯道段所确定的函数的表达式；（2）绿地管理部门欲在弯道段上选取一点安装监控设备，使得点处监测段的张角最大，求点的坐标.18已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.19如图，在三棱锥中，平面，.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.20为了应对国家电网用电紧张的问题，了解我市居民用电情况，我市统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：kWh），并将得到数据按如下方式分为9组：0，40），40，80），320，360，绘制得到如下的频率分布直方图：（1）试估计抽查样本中用电量在160，200）的用户数量；（2）为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为0，40）和320，360的两组居民用户中随机抽取两户进行走访，求走访对象来自不同的组的概率21设双曲线，其虚轴长为，且离心率为（1）求双曲线的方程；（2）过点的动直线与双曲线的左右两只曲线分别交于点、，在线段上取点使得，证明：点落在某一定直线上22已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求，的值；（2）若，是两个正数，且，证明：.秘密2022年1月19日17：00前重庆市2022年高考第一次诊断性检测高三数学答案及评分标准【命题单位：重庆缙云教育联盟】1D【分析】根据几何模型，结合充分条件和必要条件的定义可判断.【详解】如图所示，在正方体中，若为，为，为，则，满足，但不垂直于，故充分性不成立；若为，为，为，则，满足，但不垂直于，故必要性不成立；故选：D2A【分析】首先求得集合B，之后利用集合交集定义求得结果.【详解】因为，所以.故选：A.3B【分析】将4sin52代入中，结合三角恒等变换化简可得结果【详解】将4sin52代入中，得.故选：B4A【分析】由于，故分别对其取以为底的对数和以为底的对数，进而比较大小.【详解】解：因为，所以，即因为，所以，即所以，即.故选：A5B【分析】显然直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则直线的方程为，与抛物线方程联立结合韦达定理可得：，因为，所以直线的斜率为：，所以，由，解得，设点到准线的距离为，由抛物线的性质可知：，而当垂直于轴时，的值最小，最小值为【详解】解：显然直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则直线的方程为，联立方程，消去得：，设，由抛物线的性质可知：，直线的斜率为：，抛物线方程为：，准线方程为：，设点到准线的距离为，由抛物线的性质可知：，而当垂直于轴时，的值最小，最小值为，如图所示：的最小值为3，故选：B6B【分析】由题知是公差的等差数列，进而根据等差数列通项公式求解即可.【详解】解：因为（）所以是公差的等差数列，又，则故选：B7B【分析】记分隔边的条数为,首先将方格表按图分成三个区域, 分别染成三种颜色, 粗线上均为分隔边，将方格表的行从上至下依次记为，列从左至右依次记为，行中方格出现的颜色为，列中方格出现的颜色为，三种颜色分别记为，对于一种颜色，设为含色方格的行数与列数之和，定义当行含色方格时，否则，类似的定义，计算得到，再证明，再证明对任意均有，最后求出分隔边条数的最小值.【详解】记分隔边的条数为，首先将方格表按图分成三个区域，如图：分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，则，其次证明：，将方格表的行从上至下依次记为，列从左至右依次记为，行中方格出现的颜色为，列中方格出现的颜色为，三种颜色分别记为，对于一种颜色，设为含色方格的行数与列数之和，定义当行含色方格时，否则，类似的定义，所以，由于染色的格的行有个，列有个，则色的方格一定在这行和列的交叉方格中，从而，所以所以，由于在行中有种颜色的方格，于是至少有条分隔边，类似地，在列中至少有条分隔边，则，下面分两种情况讨论：1、有一行或一列所有方格同色，不妨设为色，则方格表的33列中均含有色的方格，又色的方格有363个，故至少有行含有色的方格，于是，由得；2、没有一行也没有一列所有方格同色，对任意均有，从而由可得；综上所述，分隔边条数的最小值为56.故选：B【点睛】本题主要考查染色问题，考查计数原理和数列求和，考查分析推理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力，属于难题.8D【分析】由题意先求出相邻两个音的频率比，然后利用对数的运算性质依次判断四个选即可【详解】由题意可知，相邻两个音的频率比分别为：，故选项A错误，选项B错误；由0.02870.01，故选项C错误；|12lg319lg2|0.00620.01，故选项D正确故选：D9BD【分析】利用正弦定理角化边结合余弦定理求出，再利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式转化为C的函数，结合锐角三角形求出C的范围求范围即可【详解】由正弦定理得即，故B对，A错；又又锐角中解得，故故选：BD10ACD【分析】根据几何概型的概率公式可判断A的正误；计算直线与圆的位置关系以及数形结合可判断B的正误；利用点到直线的距离公式以及数形结合可判断C的正误；求出点、的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可判断D的正误.【详解】对于A，设黑色部分区域的面积为，整个圆的面积为，由对称性可知，所以，在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率为，故A正确；对于B，当时，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，下方白色小圆的方程为，圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，如下图所示：由图可知，直线与与白色部分无公共点，故B错误；对于C，黑色阴影部分小圆的方程为，设，如下图所示：当直线与圆相切时，取得最大值，且圆的圆心坐标为，半径为，可得，解得，由图可知，故，故C正确；对于D，由于是圆中过点的直径，则、为圆与轴的两个交点，可设、，当轴时，取最小值，则直线的方程为，可设点、，所以，所以，故D正确.故选：ACD11ACD【分析】结合题意，直接根据两向量垂直和向量的数量积运算，即可判断A选项；根据在方向上的投影是进行计算，即可判断B选项；设，根据题意可知，并取，从而得出动点在以为直径的圆上，设的中点为，从而得出，即可判断C选项；设，由可知故在垂线上，根据向量的加减法运算得出，过作的垂线，垂足为，可知，即可求出的最小值，从而可判断D选项.【详解】解：因为，且，则，所以，又，则，则，故A正确；由于在方向上的投影是，故B错误；设，由于，即，故，因为，取，则，所以，所以动点在以为直径的圆上，如图，则，设的中点为，的中