-压缩映射原理在各种方程的解的存在唯一性上的应用林芳数学科学学院 数学与应用数学专业 2021级汉1班指导教师 官厅摘 要 本文介绍了不动点原理即压缩映射原理及其在代数方程、微分方程、积分方程解的存在性和惟一性方面的重要应用关键词 不动点压缩映射原理方程不动点理论是20世纪数学中的一支奇葩半个多世纪以来其影响可以说普及整个数学函数的不动点在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点即函数的取值过程中如果有使就称为的一个不动点对此定义有两方面的理解代数意义假设方程有实数根则有不动点几何意义假设函数与有交点则为的不动点压缩映射原理是最简单的不动点定理它不但证明了不动点的存在性与唯一性同时还提供了求不动点的方法迭代法就是说在完备度量空间中是一个压缩映射从任意选取的一个初始值出发逐次作点列这个点列必然收敛到方程的解因此这种方法叫做逐次逼近法压缩映射原理在线性代数方程组微分方程积分方程等方面都有广泛的应用相关定义及定理不动点的定义设为一非空集是一个映射如果有使得则称为映射的一个不动点压缩映射的定义设是度量空间是一个映射如果存在一个数使得对所有的则称是压缩映射称为压缩常数注 压缩映射在几何上的意思是说点和经映射后它们像的距离缩短了不超过的倍压缩映射原理设是完备度量空间是上的压缩映射则有且只有一个不动点就是说方程有且只有一个解证明 设是中任意一点我们证明点列是中柯西点列事实上由三点不等式当时因所以于是得到所以当时即点列是中柯西点列由完备存在使又由三点不等式和条件我们有这个不等式右端当时趋于所以即下面证唯一性如果又有使得则由条件得因所以必有即压缩映射原理在代数方程方面的应用压缩映射原理在线性代数方程组方面的应用例 在维实向量空间中是一个完备度量空间我们定义距离其中我们在中讨论以下线性代数方程组在系数满足什么条件时存在唯一的解解 首先将式写成以下向量形式其中令则式可以写成于是求方程组的唯一解的问题就化为是否有唯一的不动点的问题显然是的一个映射下面来讨论当满足什么条件时是一个压缩映射任取于是由此可见当对一切成立时是上的一个压缩映射于是满足压缩映射原理的条件从而有唯一的不动点而就是方程组的唯一解压缩映射原理在非线性代数方程方面的应用例证明方程存在唯一解其中为常数证明 空间是完备度量空间在其上定义距离作映射则有显然是的映射且有在之间令则有所以是压缩映射由压缩映射原理可知存在唯一不动点即方程存在唯一的解压缩映射原理在积分方程方面的应用例 设为上的连续函数为形上的连续函数且存在常数使得则当时弗雷德霍姆方程 存在唯一的解证明 在完备度量空间上定义距离定义映射记则有 因此是一个压缩映射根据压缩映射原理有唯一的不动点即方程有唯一的解例设为上的连续函数为形上的连续函数令则在时弗雷德霍姆方程存在唯一的解证明 在完备度量空间上定义距离定义映射记有 因此是一个压缩映射根据压缩映射原理有唯一的不动点即方程有唯一的解压缩映射原理在微分方程方面的应用压缩映射原理证明一阶线性微分方程的解的存在唯一性例设是矩形上的二元函数设又在上关于满足利普希茨条件即存在常数使得对任意的有则方程在区间上有唯一的满足初值条件得连续函数解其中证明 设表示区间上的连续函数全体按距离所成的完备度量空间又令表示中满足条件得连续函数全体所成的子空间且是闭子空间则也是完备度量空间令则是到中的映射因为所以假设则当时又因为是上的二元连续函数所以式右端积分有意义又对一切所以有当下面证是压缩映射由条件对中任意两点和有令则且所以是上的压缩映射由压缩映射原理可知存在唯一的使得即且两边对求导即得这说明是方程满足初值条件的解压缩映射原理证明阶线性微分方程的解的存在唯一性一般的阶线性微分方程可以写成如下形式方程的初值条件记为有如下结论例阶线性微分方程初值问题解的存在性与唯一性设和均于区间上连续则对任一和任意个常数方程恒有且只有一个定义在整个区间上且满足初值条件的解注 有时映射不满足压缩映射原理的条件但的*次幂却满足这些条件于是可把压缩映射原理推广到下面的情形推论 设是完备度量空间如果存在自然数使得对所有其中则有唯一的不动点下面对定理进展证明证明 对阶线性微分方程作如下变化设则代入原方程得整理后得到积分方程其中此方程为第二类积分方程显然在区域上连续并且方程与方程等价下面考虑积分方程 在区域上连续设考虑映射则 归纳的假设则 由此得到对于任何自然数有由于于是对于充分大的总可使因此对于充分大的满足推论中压缩映射原理的条件所以方程有唯一解由方程的等价性可知阶线性微分方程有唯一解压缩映射原理证明隐函数存在定理例设函数在带状域中处处连续且处处有关于的偏导数如果还存在常数和满足则方程在区间上必有唯一的连续函数作为解证明 在完备度量空间中作映射使对任意的函数有按照题中条件是连续的故也连续即所以是到自身的映射下面证是压缩映射任取根据微分中值定理存在满足由于所以令则有且 按中距离的定义可知因此是压缩映射由压缩映射原理可知存在唯一的满足即这就是说根据压缩映射原理假设取作为初始函数通过迭代得到的函数列将一致收敛于隐函数参考文献大华应用泛函简明教程华中科技大学程其襄奠宙国强善文王漱石实变函数与泛函分析根底高等教育秀芹非线性分析中的几类不动点定理及其应用东北大学汪斌阶线性微分方程解的存在与唯一性华中师大学. z.