2022-2023学年高二数学考点知识详解第三章圆锥曲线的方程一椭圆知识点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 ,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程1当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中2当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：1只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程；2在椭圆的两种标准方程中，都有和；3椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程：说明：把换成、或把换成、或把、同时换成、原方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，。（3）顶点：椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 ， 线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，,。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率：椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。因为，所以的取值范围是。越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当时，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。注意：椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：（1）；（2）；（3）；焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围且且顶点、轴长短轴的长长轴的长焦点、焦距对称性关于轴、轴、原点对称离心率e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁通径过椭圆的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2b2/a题型一：椭圆的定义例1：（2021全国高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（）A13B12C9D6【答案】C【详解】由题，则，所以（当且仅当时，等号成立）故选：C题型二：椭圆的标准方程例2：1（2022全国高考真题（文）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点若，则C的方程为（）ABCD【答案】B【解析】【分析】根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率，解得，分别为C的左右顶点，则，B为上顶点，所以.所以，因为所以，将代入，解得，故椭圆的方程为.故选：B.2（2019全国高考真题（文）已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，则C的方程为ABCD【答案】B【解析】【分析】由已知可设，则，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，从而可求解.【详解】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有在中，由余弦定理推论得在中，由余弦定理得，解得所求椭圆方程为，故选B法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有在和中，由余弦定理得，又互补，两式消去，得，解得所求椭圆方程为，故选B题型三：椭圆的焦点、焦距例3：1（2022辽宁建平县实验中学模拟预测）下列与椭圆焦点相同的椭圆是（）ABCD【答案】D【详解】由题意得，椭圆C中，即焦点坐标为和；对于A选项，椭圆焦点在轴上，不满足题意；对于B选项，椭圆焦点在轴上，不满足题意；对于C选项，椭圆焦点在轴上，不满足题意；对于D选项，椭圆焦点在轴上，满足题意；故答案为：D.题型四：椭圆的范围例4：1（2022江西二模（理）曲率半径可用来描述曲线在某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小已知椭圆上点处的曲率半径公式为若椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值为8，最小值为1，则椭圆C的标准方程为（）ABCD【答案】D【详解】依题意，即，则，因，则当时，当时，因此，且，解得，所以椭圆C的标准方程为.题型五：椭圆的对称性例5：1（2022河北邯郸一模）已知椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上一点，则满足为直角三角形的点有（）A2个B4个C6个D8个【答案】B【详解】当为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点有2个；当为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点有2个；设椭圆的上顶点为，由椭圆，可得，可得，则，所以，故，所以不存在以为直角顶点的，故满足本题条件的点共有4个.题型六：椭圆的顶点、长短轴例6：1（2020山东高考真题）已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（）A3B6C8D12【答案】B【详解】椭圆的长轴长为10，焦距为8，所以，可得，所以，可得，所以该椭圆的短轴长，故选：B.题型七：椭圆的离心率例7：1（2022全国高考真题（理）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称若直线的斜率之积为，则C的离心率为（）ABCD【答案】A解：，设，则，则，故，又，则，所以，即，所以椭圆的离心率.故选：A.2（2022全国高考真题（文）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点若，则C的方程为（）ABCD【答案】B解：因为离心率，解得，分别为C的左右顶点，则，B为上顶点，所以.所以，因为所以，将代入，解得，故椭圆的方程为.故选：B.题型八：椭圆的应用例8：1（2022江苏泰州模拟预测）我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球，并通过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图假设“嫦娥四号”在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，其轨道的离心率为e，设月球的半径为R，“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为r，则“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为（）ABCD【答案】B【详解】椭圆的离心率，设卫星近地点远地点离月球表面的距离分别为则故选：B二直线与椭圆的位置关系1.点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)在椭圆内部的充要条件是；在椭圆外部的充要条件是；在椭圆上的充要条件是.2.直线与椭圆的位置关系.设直线l：Ax+By+C=0，椭圆C：，联立l与C，消去某一变量(x或y)得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为，则l与C相离的0.3.弦长计算计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)|P1P2|= （k为直线斜率）形式(利用根与系数关系（推导过程：若点在直线上，则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，或者。)4.中点弦问题 关于中点弦问题，一般采用两种方法解决：(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算. (2)利用“点差法”求解，即若椭圆方程为1，直线与椭圆交于点A(x1，y1)、B(x2，y2)，且弦AB的中点为M(x0，y0)，则由得a2(yy)b2(xx)0，.这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题能得以解决题型一：直线与椭圆的位置关系例1：（2021天津高考真题）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点若，求直线的方程【详解】（1）易知点、，故，因为椭圆的离心率为，故，因此，椭圆的方程为；（2）设点为椭圆上一点，先证明直线的方程为，联立，消去并整理得，因此，椭圆在点处的切线方程为.在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点，直线的斜率为，所以，直线的方程为，在直线的方程中，令，可得，即点，因为，则，即，整理可得，所以，因为，故，所以，直线的方程为，即.题型二：椭圆的弦长例2：（2022青海海东市第一中学模拟预测（文）已知椭圆：的离心率为，为过椭圆右焦点的一条弦，且长度的最小值为2(1)求椭圆的方程(2)若斜率为1的直线与椭圆交于，两点，点，直线的斜率为，求线段的长度【解析】(1)因为椭圆的离心率为，过椭圆右焦点的弦长的最小值为，所以，所以椭圆的方程为(2)设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程得，则，因为点，所以点坐标为，所以可得直线的方程为，即联立直线与椭圆的方程，消去得，解得，所以题型三：椭圆的焦点弦例3：（2019浙江高考真题）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_.【答案】【详解】方法1：由题意可知，由中位线定理可得，设可得，联立方程可解得（舍），点在椭圆上且在轴的上方，求得，所以方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知，由中位线定理可得，即求得，所以.题型四：椭圆的中点弦例4：（2022全国高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为_【答案】解：令的中点为，因为，所以，设，则，所以，即所以，即，设直线，令得，令得，即，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直线，即；故答案为：题型五：椭圆中参数的范围及最值例5：（2018浙江高考真题）已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m1)上两点A，B满足=2，则当m=_时，点B横坐标的绝对值最大【答案】5详解：设，由得因为A,B在椭圆上,所以 ，与对应相减得，当且仅当时取最大值题型六：椭圆中的定点、定值问题例6：（2022全国高考真题（文）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点(1)求E的方程；(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足证明：直线HN过定点(1)解：设椭圆E的方程为，过，则，解得，所以椭圆E的方程为：.(2)，所以，若过点的直线斜率不存在，直线.代入，可得，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，过点.若过点的直线斜率存在，设.联立得，可得，且联立可得可求得此时，将，代入整理得，将代入，得显然成立，综上，可得直线HN过定点题型七：椭圆的定直线例7：（2022河北沧州二模）已知