江苏省南京市南门中学2021-2022学年高三数学文下学期期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为（）ABCD参考答案：C【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】分别计算奖票的所有排列情况和第四次活动结束的抽取方法即可【解答】解：将5张奖票不放回地依次取出共有A=120种不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票共有3AA=36种取法，P=故选：C2. f(x)x22x，g(x)ax2(a0)，对?x11,2，?x01,2，使g(x1)f(x0)，则a的取值范围是()A BC3，)D(0,3参考答案：A3. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是( )A B C D 参考答案：D4. 已知函数（）的相邻两个零点差的绝对值为，则函数的图象（ ）A. 可由函数的图象向左平移个单位而得B. 可由函数的图象向右平移个单位而得C. 可由函数的图象向右平移个单位而得D. 可由函数的图象向右平移个单位而得参考答案：B ，因为函数（）的相邻两个零点差的绝对值为，所以函数的最小正周期为，而， ，故的图象可看作是的图象向右平移个单位而得，故选B.5. 下列函数中，在区间(0,+ )上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 参考答案：D在上是单调减函数，在是单调减函数，在上是单调增函数，在不是单调函数，是幂函数，它在上是单调增函数，故选D6. 中角，所对的边长分别为，且,则( ) (A) (B) (C) (D) 参考答案：A7. 某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从11000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为（）A16B17C18D19参考答案：C【考点】B4：系统抽样方法；B2：简单随机抽样【分析】根据系统抽样的特征，从1000名学生从中抽取一个容量为40的样本，抽样的分段间隔为=25，结合从第18组抽取的号码为443，可得第一组用简单随机抽样抽取的号码【解答】解：从1000名学生从中抽取一个容量为40的样本，系统抽样的分段间隔为=25，设第一部分随机抽取一个号码为x，则抽取的第18编号为x+1725=443，x=18故选C8. 已知集合A=x|x2x20，B=y|y=2x，则AB=( )A（0，2B（0，1C（1，0D（0，4参考答案：A【考点】交集及其运算 【专题】集合【分析】求解一元二次不等式化简A，求函数的值域化简B，取交集得答案【解答】解：由x2x20，得1x2，A=x|x2x20=1，2，又B=y|y=2x=（0，+），AB=（0，2故选：A【点评】本题考查交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，考查了函数值域的求法，是基础题9. 对实数，定义运算“”：设函数若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A BC D参考答案：A10. 某三棱锥的三视图如上右图所示，该三棱锥的体积是（ ）A. B. C. D.参考答案：B由三视图知：该几何体的为三棱锥，其中该三棱锥的底面面积为，三棱锥的高为2，所以该三棱锥的体积为。二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 有一边长为1的正方形ABCD, 则.参考答案：212. 已知，则_ _ .参考答案：-113. 下图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数对应数轴上的点M（点A对应实数0，点B对应实数1），如图；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点A的坐标为（0，1），在图形变化过程中，图中线段AM的长度对应于图中的弧ADM的长度，如图，图中直线AM与轴交于点N（），则的象就是，记作给出下列命题：； ； 是奇函数； 在定义域上单调递增，则所有真命题的序号是_.（填出所有真命题的序号）参考答案：略14. 函数的最大值为 参考答案：略15. 若函数y=f（x）对定义域的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f（x1）f（x2）=1成立，则称该函数为“依赖函数”给出以下命题：y=是“依赖函数”；y=是“依赖函数”；y=2x是“依赖函数”；y=lnx是“依赖函数”；y=f（x），y=g（x）都是“依赖函数”，且定义域相同，则y=f（x）g（x）是“依赖函数”其中所有真命题的序号是参考答案：【考点】命题的真假判断与应用【分析】理解“依赖函数”的定义，注意关键词：定义域的每一个值x1，都存在唯一的x2，f（x1）f（x2）=1逐一验证5个结论，可得答案【解答】解：在中，若x1=2，则此时f（x1）f（x2）=1可得f（x2）=4，x2=2，不唯一，所以命题错误在中，两个函数都是单调的，且函数值中没有零，每取一个x1，方程f（x1）f（x2）=1都有唯一的x2值，所以都是真命题在中，y=lnx当x1=1时，f（x1）=0此时f（x1）f（x2）=1无解，所以是假命题在中，如果f（x）g（x）=1，则任意x1，都对应无数个x2，所以命题也是假命题故答案为：【点评】本题是给出定义，直接应用的新题，要抓住关键词，是解答此类问题的关键16. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_参考答案：三视图为 一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个1/2的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为6，则知所求几何体体积为原体积的一半为17. 已知O为ABC的外心, 若,且,则.参考答案：10三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分14分）已知函数图象上一点处的切线方程为.（）求的值；（）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（其中为自然对数的底数）；（）令，若的图象与轴交于（其中），的中点为，求证：在处的导数参考答案：（）且解得3分（），令则令，得舍去).当时，是增函数；当时，是减函数；5分于是方程在内有两个不等实根的充要条件是：.即9分（）由题意假设结论成立，则有：11分-，得由得即，即13分令则在（0，1）增函数，式不成立，与假设矛盾.14分19. 某手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：女性用户分值区间50，60）60，70）70，80）80，90）90，100频数2040805010男性用户分值区间50，60）60，70）70，80）80，90）90，100频数4575906030（）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（）画出女性用户和男性用户的频率分布直方图，由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大；（）由分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取3人，记评分小于90分的人数为X，根据X的取值计算对应的概率，求出X的分布列和数学期望【解答】解：（）对于女性用户，各小组的频率分别为：0.1，0.2，0.4，0.25，0.05，其相对应的小长方形的高为0.01，0.02，0.04，0.025，0.005，对于男性用户，各小组的频率分别为：0.15，0.25，0.30，0.20，0.10，其相对应的小长方形的高为0.015，0.025，0.03，0.02，0.01，直方图如图所示：，由直方图可以看出女性用户比男性用户评分的波动大（）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取3人，记评分小于90分的人数为X，则X取值为1，2，3，且P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=；所以X的分布列为X123PX的数学期望为EX=1+2+3=2【点评】本题考查了频率分布直方图以及概率的计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的问题，是综合题20. （本小题满分12分）ks5u已知正方形的边长为2, 分别是边的中点.(1)在正方形内部随机取一点,求满足的概率；(2)从这八个点中,随机选取两个点，记这两个点之间的距离为，求随机变量的分布列与数学期望.参考答案：解:(1)这是一个几何概型.所有点构成的平面区域是正方形的内部,其面积是 满足的点构成的平面区域是以为圆心,为半径的圆的内部与正方形内部的公共部分,它可以看作是由一个以为圆心、为半径、 ks5u圆心角为的扇形的内部(即四分之一个圆)与两个 直角边为1的等腰直角三角形(和)内部 构成其面积是 所以满足的概率为 ks5u (2)从这八个点中,任意选取两个点,共可构成条不同的线段. 其中长度为1的线段有8条,长度为的线段有4条,长度为2的线段有6条,长度为的线段有8条,长度为的线段有2条. 所以所有可能的取值为 且, , , , 所以随机变量的分布列为:1随机变量的数学期望为 21. 设