一、选择题1. （2019乐山）如图，抛物线与轴交于、两点，是以点（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结.则线段的最大值是（） A B C D 【答案】C【解析】连接PB，令=0，得x=，故A（-4，），（4，0），O是AB的中点，又是线段的中点，OQ=PB，点B是圆C外一点，当PB过圆心C时，PB最大，OQ也最大，此时OC=3，OB=4，由勾股定理可得BC=5， PB=BC+PC=5+2=7，OQ=PB=，故选C. 二、填空题1. （2019无锡）如图，在中，AB=AC=5，BC=，为边上一动点(点除外)，以为一边作正方形，连接，则面积的最大值为 .【答案】8【解析】过D作DGBC于G，过A作ANBC于N，过E作EHHG于H，延长ED交BC于M.易证EHDDGC，可设DG=HE=x，AB=AC=5，BC=，ANBC，BN=BC=2，AN=，GBC，ANBC，DGAN，BG=2x，CG=HD=4- 2x；易证HEDGMD，于是，即MG ，所以SBDE = BMHD=（2x）（4- 2x）=，当x=时，SBDE的最大值为8. 2. (2019 台州)如图,直线l1l2l3,A,B,C分别为直线l1,l2,l3上的动点,连接AB,BC,AC,线段AC交直线l2于点D.设直线l1,l2之间的距离为m,直线l2,l3之间的距离为n,若ABC90,BD4,且,则m+n的最大值为_.【答案】【解析】过点B作BEl1于点E,作BFl3于点F,过点A作ANl2于点N,过点C作CMl2于点M,设AEx,CFy,则BNx,BMy,BD4,DMy4,DN4x,ABC90,且AEBBFC90,CMDAND90,易得AEBBFC,CMDAND,即,mnxy,即,y10,nm,m+nm,mnxyx(10)x2+10xm2,当x时,mn取得最大值为,m2,m最大,m+nm.3. （2019凉山）如图，正方形ABCD中，AB=12, AE =AB，点P在BC上运动 （不与B、C重合），过点P作PQEP，交CD于点Q，则CQ的最大值为 .【答案】4【解析】在正方形ABCD中，AB=12, AE =AB=3，BC=AB=12，BE=9，设BP=x，则CP=12-x.PQEP，EPQ=B=C=90，BEP+BPE=CPQ+BPE=90，BEP=CPQ，EBPPCQ，整理得CQ=，当x=6时，CQ取得最大值为4.故答案为4.三、解答题25（2019山东烟台，25，13分）如图，顶点为M的抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，过点C作轴交抛物线与另一个点D，作轴，垂足为点E双曲线经过点D，连接MD，BD(1)求抛物线的解析式(2)点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；(3)动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，的度数最大？（请直接写出结果）【解题过程】 （1）当时 所以，因为轴，轴，所以四边形OEDC为矩形， 又因为双曲线经过点D， 所以, 所以, 所以 将点、代入抛物线得 解得 所以抛物线的表达式为（2）解：作点D关于x轴的对称点，作点M关于y轴的对称点，如图（1）第25题答图（1）由图形轴对称的性质可知，所以四边形MDNF的周长， 因为是定值，所以当最小时，四边形MDNF的周长最小， 因为两点之间线段最短，所以当I、F、N、H在同一条直线上时最小 所以当I、F、N、H在同一条直线上时，四边形MDNF的周长最小，连接，交x轴于点N，交y轴于点F， 因为抛物线的表达式为，所以点M的坐标为， 由轴对称的性质可得， 设直线HI的表达式为， 所以，解得，所以直线HI的表达式为，当时，当时，所以，所以，所以当M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，（3）解：本题的答案为 解题分析：如图（2），当两点A、B距离是定值，直线CD是一条固定的直线，点P在直线CD上移动，由下图可以看出只有当过A、B的圆与直线CD相切时最大 第25题答图（2）第25题答图（3） 所以可作过点B、D，且与直线OC相切，切点为P，此时的度数最大， 由已知，可得， 因为直线OC与相切，所以，所以直线PT的解析式为 因为抛物线的表达式为，所以点B的坐标为，因为点B、点可以求得直线BD的垂直平分线的解析式为联立与，得，直线PT与直线BD的交点即为点M，所以因为,可得解得或（舍去）所以当时，的度数最大27（2019江苏盐城卷，27，14）如图所示，二次函数的图象与一次函数的图象交于,两点，点在点的右侧，直线分别于轴、轴交于、两点，且.（1） 求,两点横坐标；（2） 若OAB是以为腰的等腰三角形，求的值；（3） 二次函数图象的对称轴与轴交于点,是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【解题过程】（1）A、B是与的交点 ， ，点在点的右侧 ， 点横坐标是，点横坐标.（2）由（1）可知和由两点间距离公式可得：OAB是以为腰的等腰三角形分为两种情况：或当时即 当时即 或综上所述，或或.（3）存在，或【提示】由（1）可知和.根据题意分为两种情况：点在点左侧，点在点右侧.当点在点左侧时 如图1，过点作轴于点，作的垂直平分线交轴于点，连接 设=m ，由（1）可知和. 在RtBFH中，由得 ， 当点在点右侧时 如图，过点作轴于点，作的垂直平分线交轴于点，连接 由（1）可知和. 设 在RtBMN中，由得 ， 综上所述，或.23（2019江西省，23，12分）特例感知(1)如图1，对于抛物线，下列结论正确的序号是 ；抛物线，都经过点C(0，1)；抛物线，的对称轴由抛物线的对称轴依次向左平移个单位得到；抛物线，与直线y=1的交点中，相邻两点之间的距离相等.形成概念(2)把满足（n为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”.知识应用在(2)中，如图2.“系列平移抛物线”的顶点依次为，用含n的代数式表示顶点的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；“系列平移抛物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”：，其横坐标分别为-k-1，-k-2，-k-3，-k-n(k为正整数)，判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由；在中，直线y=1分别交“系列平移抛物线”于点，连接，判断，是否平行？并说明理由.【解题过程】解：（1）对于抛物线，来说，抛物线，都经过点C(0，1)，正确；抛物线，的对称轴分别为：，的抛物线，的对称轴由抛物线的对称轴依次向左平移个单位得到，正确；抛物线，与直线y=1的另一个交点的横坐标分别为：-1、-2、-3，抛物线，与直线y=1的交点中，相邻两点之间的距离相等.正确.答案：（2）由可知，顶点坐标为（，），该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式为；当横坐标分别为-k-1，-k-2，-k-3，-k-n(k为正整数)，对应的纵坐标为：，相邻两点的距离相等，且距离为：.将y=1代入可得，x=-n（0舍去），点（-1，1），（-2，1），（-3，1），（-n，1）.当横坐标分别为-k-1，-k-2，-k-3，-k-n(k为正整数)，对应的纵坐标为：，点（-k-1，），（-k-2，），（-k-3，），（-k-n，）.设，的解析式分别为：y=px+q，y=mx+n，则，解得p=k+n，m=k+n-1，pm，不平行.23（2019山西）综合与探究如图,抛物线yax2+bx+6经过点A（2,0）,B(4,0)两点,与y轴交于点C.点D是抛物线上一个动点,设点D的横坐标为m(1m4).连接AC,BC,DB,DC.(1)求抛物线的函数表达式;(2)当BCD的面积等于AOC的面积的时,求m的值;(3)在(2)的条件下,若点M是x轴上一动点,点N是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点M,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形.若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.第23题图【解题过程】(1)抛物线yax2+bx+6经过点A（2,0）,B(4,0)两点,解之,得:,抛物线的函数表达式为:;(2)作直线DEx轴于点E,交BC于点G,作CFDE,垂足为点F,点A的坐标为(2,0),OA2,由x0,得y6,点C的坐标为(0,6),OC6,SAOCOAOC6,SBCDSAOC.设直线BC的函数表达式为ykx+n,由B,C两点的坐标得:,解之,得:,直线BC的函数表达式为:yx+6.点G的坐标为(m,m+6),DG(m+6).点B的坐标为(4,0),OB4,SBCDSCDG+SBDG.,解之,得m13,m21,m的值为3.第23题答图(3)存在点M,其坐标为:M1(8,0),M2(0,0),M3(,0),M4(,0).25（2019常德）如图11，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（1，0）（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使PNC的面积是矩形MNHG面积的，若存在，求出该点的横坐标，若不存在，请说明理由 【解题过程】（1）设抛物线的解析式为y，把B（1，0