高考数学高中数学探究群562298495；新高考资料全科总群732599440专题01 子集、交集、并集、补集之间的关系式一、结论1、子集、交集、并集、补集之间的关系式：(其中为全集)（1）当时，显然成立（2）当时，图如图所示，结论正确.2、子集个数问题：若一个集合含有（）个元素，则集合的子集有个，非空子集有个.真子集有个，非空真子集有个.理解：的子集有个，从每个元素的取舍来理解，例如每个元素都有两种选择，则个元素共有种选择，该结论需要掌握并会灵活应用.二、典型例题（高考真题+高考模拟）1（2012湖北高考（文）已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ）A1B2C3D4【解析】求解一元二次方程，得，易知.因为，所以根据子集的定义，集合必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合的子集个数，即有个，故选D.【反思】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，由于集合元素个数少，也可采用列举法，列出集合的所有可能情况，再数个数即可.2（2021全国模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】解不等式，得，所以.由，得，画出数轴：，解得故选：B【反思】在利用数轴求包含关系时，特别注意最后答案区间的开闭细节问题；解此类题目时可以遵循两步法原则：先确定大方向：由，结合数轴可以得到：注意此时不要把等号写上去，所谓先确定大方向，就是只确定与的大小，与的大小；再确定个别点：经过上述步骤再确定不等式组中等号是否可以取到等号；假设；则由数轴可以观察出几何中左端是开区间；而集合左端是闭区间，结合数轴假设不成立；同理假设，也不成立；故本题最后得到的关系式为.三、针对训练 举一反三1（2013福建高考真题（文）若集合的子集个数为A2B3C4D162（2011安徽高考真题（理）设集合则满足且的集合的个数为A57B56C49D83（2022安徽黄山一模（文）已知集合，则的真子集的个数是（ ）A1B2C3D44（2022全国模拟预测）已知，则的子集的个数为（ ）ABCD5（2022重庆实验外国语学校一模）已知集合，则集合的所有非空子集的个数为（ ）A5个B6个C7个D8个6（2021全国模拟预测）已知集合，若，则（ ）A1B1或0C1D0或17（2021江西新余市第一中学模拟预测（理）已知集合，集合，且，则实数的取值集合为（ ）ABCD8（2021全国全国模拟预测）已知集合，且，则满足条件的集合P的个数是（ ）A8B9C15D169.（2021辽宁实验中学二模）已知非空集合、满足：，则（ ）ABCD10（2021湖南雅礼中学高一期中）定义，设集合，则集合的所有子集中的所有元素之和为_11（2022全国高三专题练习）集合，是的一个子集，当时，若有且，则称为的一个“孤立元素”，那么的元子集中无“孤立元素”的子集个数是_12（2022天津西青高三期末）若集合，则集合的所有子集的个数是_.13（2021江西模拟预测）设全集，集合，.(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围.14（2021江西模拟预测）设全集，集合，.(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围.15（2021陕西高新一中高一期中）已知集合或，其中(1)求；(2)若，求实数的取值范围16（2021安徽芜湖一中高一阶段练习）已知集合.(1)当时，求的非空真子集的个数；(2)若，求实数的取值范围；(3)若，求实数的取值范围.专题02 交、并、补(且、或、非)之间的关系(德摩根定律)一、结论交、并、补(且、或、非)之间的关系(德摩根定律)(1)集合形式,(2)命题形式：，二、典型例题1（2017四川三模（理）已知全集，集合，满足，则下列结论正确的是（ ）ABCD【解析】全集，集合，满足，绘制Venn图，如下：对于A：，A错误；对于B：，B错误；对于C：，C正确；对于D：； D错误；故选：C【反思】本题主要借助图，对于B，D选项，充分利用德摩根律,，再结合图，可以快速，准确判断正误.2（2011广东汕头一模（理）设是全集的三个非空子集，且，则下面论断正确的是ABCD【解析】根据公式 ，即可推出正确的结论，.故选：C.【反思】本题考查交、并、补集的混合运算，熟练运用公式，是解题的关键。三、针对训练 举一反三1（2021上海市进才中学高一期中）已知为全集，集合、非空，且，则下列式子中一定是空集的为（ ）ABCD2（2021全国高一课时练习）已知为全集，则下列说法错误的是（ ）A若，则B若，则或C若，则D若，则3（2021全国高一单元测试）已知集合中有10个元素，中有6个元素，全集有18个元素，.设集合中有个元素，则的取值范围是（ ）ABCD4（2020浙江）已知全集中有m个元素，中有n个元素，若非空，则的元素个数为（ ）.ABCD5（2021全国高一单元测试）已知全集，则（ ）ABCD6（2017上海市育才中学）集合中有10个元素，中有6个元素，全集有18个元素，设集合有个元素，则的所有取值组成的集合为_7（2019河南高一阶段练习）已知函数的定义域为A，函数的定义域为B，设全集，则_8（2021宁夏吴忠中学高一期中）下列命题之中，U为全集时，下列说法正确的是_. (1)若= ，则；(2)若，则或; (3)若，则 ; (4)若= ，则 .9（2021天津市滨海新区大港实验中学高一阶段练习）全集U=R，已知集合，.(1)求；(2)若求的范围.10（2020江苏省板浦高级中学高一阶段练习）设全集，集合，（1）求（2）求专题03 奇函数的最值性质一、结论已知函数是定义在区间上的奇函数,则对任意的,都有.特别地,若奇函数在上有最值,则;若，则有.（若是奇函数，且，特别提醒反之不成立）二、典型例题1（2012全国高考真题（文）设函数的最大值为，最小值为，则=_ .【解析】，令，则为奇函数，所以的最大值和最小值和为0，又.有，即.答案为：2.【反思】本题中不是奇函数，无法直接使用结论，但是通过构造，使得是奇函数，从而有2（2022江苏盐城一模）若是奇函数，则_.【解析】因为是奇函数，并且定义域为所以有，即.【反思】在本例中，由于是奇函数，并且0属于定义域，所以可以直接利用奇函数性质求解三、针对训练 举一反三1（2022河南高三阶段练习（文）已知为奇函数，当时，则当时，（ ）ABCD2（2022湖北十堰市教育科学研究院高三期末）已知是定义在R上的奇函数，且当时，则（ ）A2B2C6D63（2022四川遂宁高一期末）若函数在上有最小值6，（a，b为常数），则函数在上（ ）A有最大值5B有最小值5C有最大值9D有最大值124（2017山西（理）若对，有，则函数在上的最大值与最小值的和为A4B6C9D125（2021甘肃省民乐县第一中学（文）设函数的最大值为5，则的最小值为（ ）AB1C2D36（2022湖北高一期末）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）AB CD7（2021江西模拟预测）已知函数在上的最大值与最小值分别为，则_.8（2022全国高三专题练习）定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则_9（2022全国高三专题练习）设函数的最大值为，最小值为，则_10（2021江西贵溪市实验中学高二阶段练习）已知定义域为的函数是奇函数，则实数的值_.11（2021山东省莱西市第一中学高一阶段练习）设函数的最大值为，最小值为.则_.12（2021陕西高新一中高一期中）已知函数的最大值为，最小值为，求的值专题04 指数函数与对数函数互为反函数一、结论 若函数是定义在非空数集上的单调函数，则存在反函数.特别地，与（且）互为反函数.在同一直角坐标系内，两函数互为反函数图象关于对称，即与分别在函数与反函数的图象上.若方程的根为，方程的根为，那么.二、典型例题1.若实数满足,实数满足,则 解析：同底数的指数函数和对数函数互为反函数，图像关于对称，可知是函数和交点的横坐标，同理是函数与交点的横坐标，且与垂直，作出图像如下，所以，关于对称，所以【反思】对于利用反函数解题问题，首先要判断题目中两个函数互为反函数，然后再重复利用结论：若方程的根为，方程的根为，那么.可快速解题.2.设点为曲线上的动点，为曲线上的动点，则称的最小值为曲线，之间的距离，记为：.若，则 解析：和互为反函数，关于对称，设与平行的直线，分别与，相切于点,则,由得，即，由得，即，所以【反思】反函数问题的重点就是图象关于对称，这也是解题的关键，在利用反函数解题时，注意配图，在图象中寻找解题突破口，数形结合.三、针对训练 举一反三1.已知是方程的根，是方程的根，则 2.已知是方程的一个根，方程的一个根，则 3.已知函数，若，图象上分别存在点关于直线对称，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D.4.若是方程的解，是方程的解，则（）A. B. C. D.5.已知实数满足，则 .6.已知实数满足，则（）A.1 B. 2 C.3 D.43专题05 函数周期性问题一、结论已知定义在上的函数,若对任意,总存在非零常数,使得,则称是周期函数,为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下:(1)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期(2)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期.(3)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期.(4)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期.(5)如果(),那么是周期函数,其中的一个