2021年广东省深圳市育才中学高二数学理模拟试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列函数中，既是偶函数，且在区间内是单调递增的函数是 ( )A B C D参考答案：D2. 已知D是由不等式组，所确定的平面区域，则圆 在区域D内的弧长为 ( ) A B C D参考答案：B3. 下列函数中，图像的一部分如右上图所示的是（ ）A BC D参考答案：D略4. 已知二次函数，其中为常数且取满足：，则与的大小关系为 ( ) A不确定，与的取值有关 BC D参考答案：B略5. 曲线与坐标轴围成的面积是 （ ）A. 4 B. C. 3 D. 2参考答案：C6. 已知是椭圆的左焦点, 是椭圆上的一点, 轴, (为原点), 则该椭圆的离心率是（ ）A B C D参考答案：C7. 抛物线上一点M到焦点的距离为，则点M到轴的距离为（ ） A. B. C. D. 参考答案：A8. 原点和（1，1）在直线x+y-a=0的两侧，则 a的取值范围是 （ ）A a 2 B. a =0或a=2 C. 0 a 2 D. 0a2参考答案：C9. 曲线y=2x3x2+1在点（1，2）处的切线方程为（）Ay=3x4By=4x2Cy=4x+3Dy=4x5参考答案：B【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】根据曲线方程y=x3+3x2，对f（x）进行求导，求出f（x）在x=1处的值即为切线的斜率，曲线又过点（1，2）利用点斜式求出切线方程；【解答】解：曲线y=2x3x2+1，y=6x22x，切线方程的斜率为：k=y|x=1=62=4，又因为曲线y=2x3x2+1过点（1，2）切线方程为：y2=4（x1），即y=4x2，故选：B10. 打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次.若2人同时射击一个目标，则他们都中靶的概率是A. B. C. D.参考答案：A略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 给出下列结论：与圆及圆都外切的圆的圆心在一个椭圆上.若直线与双曲线右支有两个公共点，则.经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，且,则.抛物线上的点到直线的距离的最小值为.其中正确结论的序号是_.参考答案：略12. 若角，满足则2的取值范围是_参考答案：略13. 圆上的点到直线的距离最小值为 .参考答案：414. 已知扇形OAB的圆心角为，周长为5+14，则扇形OAB的面积为 参考答案：【考点】G8：扇形面积公式【分析】由扇形的圆心角，半径表示出弧长，利用扇形的周长即可求出半径的值，利用扇形的面积公式即可得解【解答】解：设扇形的半径为 r，圆心角为，弧长l=r，此扇形的周长为5+14，r+2r=5+14，解得：r=7，由扇形的面积公式得=r2=49=故答案为：15. 已知平面上两个点集,，则使T包含于S中的正数r的最大值为参考答案：16. 若其中为虚数单位，则_参考答案：3略17. 函数的单调递增区间是_. 参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图，已知抛物线：和：，过抛物线上一点作两条直线与相切于、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点到抛物线准线的距离为。（）求抛物线的方程；（）当的角平分线垂直轴时，求直线的斜率；（）若直线在轴上的截距为，求的最小值参考答案：解：（）点到抛物线准线的距离为，即抛物线的方程为2分（）法一：当的角平分线垂直轴时，点，设， ，. 5分7分法二：当的角平分线垂直轴时，点，可得，直线的方程为，联立方程组，得，5分同理可得，7分（）法一：设，可得，直线的方程为，同理，直线的方程为，9分直线的方程为，令，可得，关于的函数在单调递增，12分法二：设点， 以为圆心，为半径的圆方程为，方程：得：直线的方程为9分当时，直线在轴上的截距， 关于的函数在单调递增，12分略19. 有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为5组，各组的人数如下：组别ABCDE人数5010015015050（） 为了调查评委对7位歌手的支持状况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人请将其余各组抽取的人数填入下表组别ABCDE人数5010015015050抽取人数6（） 在（）中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率参考答案：【考点】相互独立事件的概率乘法公式；分层抽样方法 【专题】概率与统计【分析】（）利用分层抽样中每层所抽取的比例数相等直接计算各层所抽取的人数；（）利用古典概型概率计算公式求出A，B两组被抽到的评委支持1号歌手的概率，因两组评委是否支持1号歌手相互独立，由相互独立事件同时发生的概率公式计算从这两组被抽到的评委中分别任选1人，2人都支持1号歌手的概率【解答】解：（）按相同的比例从不同的组中抽取人数从B组100人中抽取6人，即从50人中抽取3人，从150人中抽取6人，填表如下：组别ABCDE人数5010015015050抽取人数36993（）A组抽取的3人中有2人支持1好歌手，则从3人中任选1人，支持1号歌手的概率为B组抽取的6人中有2人支持1号歌手，则从6人中任选1人，支持1号歌手的概率为现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，则2人都支持1号歌手的概率p=【点评】本题考查了分层抽样方法，考查了相互独立事件同时发生的概率乘法公式，若事件A，B是否发生相互独立，则p（AB）=p（A）p（B），是中档题20. 已知等差数列an的前n项和是Sn，等差数列bn的各项均为正数，且.（I）求an和bn的通项公式；（）求数列的前n项和.参考答案：（I）由解得所以因为所以因为是各项均为正数的等比数列，所以所以（）所以所以21. 已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与该点到抛物线准线的距离相等（1）求抛物线C的方程；（2）设直线xmy6=0与抛物线C交于A、B两点，若AFB=90，求实数m的值参考答案：【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）抛物线上横坐标为的点的坐标为（，），利用抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等，求出p，即可求抛物线的方程；（2）由题意，直线l：x=my+6，代入y2=4x得，y24my24=0，利用AFB=90，可得FAFB，即?=0，可得：（x11）（x21）+y1y2=0，即可求实数m的值【解答】解：（1）抛物线上横坐标为的点的坐标为（，），到抛物线顶点的距离的平方为+p，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等，+p=（+）2，p=2抛物线的方程为：y2=4x（2）由题意，直线l：x=my+6，代入y2=4x得，y24my24=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=24，AFB=90，FAFB，即?=0可得：（x11）（x21）+y1y2=0（1+m2）y1y2+5m（y1+y2）+25=024（1+m2）+20m2+25=0，解得：m=【点评】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题22. 如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,其中点P为棱CC1的中点,Q为棱CC1上且位于P点上方的动点(1)求证:平面；(2)若平面与平面所成的锐二面角的余弦值为,求直线BQ与平面所成角的正弦值参考答案：（1）见证明；（2）【分析】（1）推导出tanBB1C=，tanPBC=，从而BB1C=PBC，PBB1C，推导出BB1A1B1，A1B1B1C1，从而A1B1平面BCC1B1，A1B1BP，由此能证明BP平面A1B1C（2）以BC，BA，BB1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BQ与平面A1B1C所成角的正弦值【详解】（1）证明：在侧面中，因为，为棱上的中点，所以，所以，所以，在直三棱柱中，平面，所以，因为，所以，所以，因为，所以平面，所以，因为，所以平面；（2）解：如图，以，为轴建立空间直角坐标系，则，为平面的一个法向量.设，则，设平面的法向量为，则，所以，因为平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，所以，所以，解得，或，由已知得，所以，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.