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2021年安徽省池州市杜村中学高三数学文模拟试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 抛物线的准线经过双曲线的左焦点,则( )A. B. C. D.参考答案:C略2. 已知奇函数f(x)满足f(x+1)=f(x-l),给出以下命题:函数f(x)是周期为2的周期函数;函数f(x)的图象关于直线x=1对称;函数f(x)的图象关于点(k,0)(kZ)对称;若函数f(x)是(0,1)上的增函数,则f(x)是(3,5)上的增函数,其中正确命题的番号是 A B C D参考答案:A3. 已知函数在区间上有两个不同的零点,则实数的取值范围为A B C D参考答案:A4. 在平面直角坐标系中,已知任意角以x轴的正半轴为始边,若终边经过点P且,定义:,称“”为“正余弦函数”对于正余弦函数y=sicosx,有同学得到以下性质: 该函数的值域为;该函数图象关于原点对称;该函数图象关于直线对称;该函数的单调递增区间为,则这些性质中正确的个数有 (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个参考答案:C5. 在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若点(a,b)在直线x(sinAsinB)+ysinB=csinC上,则角C的值为( )ABCD参考答案:B考点:正弦定理;余弦定理 专题:解三角形分析:由条件利用正弦定理求得 a2+b2c2=ab,再利用 余弦定理求得cosC的值,可得角C的值解答:解:在ABC中,点(a,b)在直线x(sinAsinB)+ysinB=csinC上,a(sinAsinB)+bsinB=csinC,由正弦定理可得:a2ab+b2=c2,即a2+b2c2=ab,cosC=,C=,故选:B点评:本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,属于基础题6. 已知抛物线(A) (B) (C) (D)参考答案:D7. 向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线,则实数( )A. 2B. 1C. 1D. 2参考答案:D【分析】由图像,根据向量的线性运算法则,可直接用表示出,进而可得出.【详解】由题中所给图像可得:,又 ,所以.故选D【点睛】本题主要考查向量的线性运算,熟记向量的线性运算法则,即可得出结果,属于基础题型.8. 直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B 两点,则“k=1”是“OAB的面积为”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件参考答案:考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断专题:直线与圆;简易逻辑分析:根据直线和圆相交的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论解答:解:若直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B 两点,则圆心到直线距离d=,|AB|=2,若k=1,则|AB|=,d=,则OAB的面积为=成立,即充分性成立若OAB的面积为,则S=2=,解得k=1,则k=1不成立,即必要性不成立故“k=1”是“OAB的面积为”的充分不必要条件故选:A点评:本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用三角形的面积公式,以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键9. 若函数y=f(x)的图象与函数y=的图象关于y=x对称,则f(x)等于 A1x2(x1) B1x2(x0) Cl+x2(xl) D1+x2(x0)参考答案:B略10. 若是真命题,是假命题,则 A是真命题 B是假命题 C是真命题 D是真命题参考答案:D或()一真必真,且()一假必假,非()真假相反,故选D.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 将函数的图象向左平移个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得函数图象的一条对称轴是 A B. C D. 参考答案:C12. 已知数列an是等比数列,Sn为其前n项和,且a1=2,an+1=3Sn+2(nN*),则a5= 参考答案:512【考点】等比数列的前n项和【分析】根据来推知数列an的通项公式,进而求得a5=512【解答】解:an+1=3Sn+2an=3Sn1+2(n2),两式相减可得an+1an=3an,=4(n2),由a1=2,a2=3a1+2=8,由等比数列的通项公式可得:an=2?4n1则a5=2?44=512故答案是:51213. 已知点在上的射影为点,则的最大值为 . 参考答案:略14. 设函数是定义在上的可导函数,其导函数为,且有,则不等式的解集为_参考答案:15. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是AC1、A1B1的中点点在正方体的表面上运动,则总能使MP 与BN 垂直的点所构成的轨迹的周长等于 参考答案:略16. (几何证明选讲选做题)如图, 圆的直径 .参考答案:略17. 函数f 参考答案:三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (本小题满分12分)已知函数,()判定在上的单调性;()求在上的最小值;()若, ,求实数的取值范围 参考答案:解:()设,则,设则在上单调递减,则即 2分从而 ,在上单调递减在上单调递减,在上的单调递减 4分()由()知,即在上的单调递减,则有在上的最小值为 7分(), ,对 恒成立,只需求右边的最小值对中, 取,得,又由()可知,在上的最小值为,10分故 的最小值为,的取值范围是 12分19. (14分)已知函数,g(x)=xlnx()求函数g(x)在区间2,4上的最小值;()证明:对任意m,n(0,+),都有g(m)f(n)成立参考答案:【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性【分析】()求出g(x)的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出g(x)在2,4上的最小值即可;()求出g(m)的最小值,根据函数的单调性求出f(x)的最大值,从而证出结论即可【解答】()解:由g(x)=xlnx,可得g(x)=lnx+1当,g(x)0,g(x)单调递减;当,g(x)0,g(x)单调递增所以函数g(x)在区间2,4上单调递增,又g(2)=2ln2,所以函数f(x)在区间2,4上的最小值为2ln2()证明:由()可知g(x)=xlnx(x(0,+)在时取得最小值,又,可知由,可得,所以当x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增;当x(1,+)时,f(x)0,f(x)单调递减所以函数f(x)(x0)在x=1时取得最大值,又,可知,所以对任意m,n(0,+),都有g(m)f(n)成立【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及不等式的证明,是一道中档题20. 某公司在招聘员工时,要进行笔试、面试和实习三个过程。笔试设置了三个题,每一个题答对得5分,否则得0分。面试则要求应聘者回答3个问题,每一个问题答对得5分,否则得0分。并且规定在笔试中至少得到10分,才有资格参加面试,而笔试和面试得分之和至少为25分,才有实习机会。现有甲去该公司应聘,若甲答对笔试中的每一个题的概率为,答对面试中的每一个问题的概率为。(1)求甲获得实习机会的概率;(2)设甲在应聘过程中的所得分数为随机变量,求的数学期望。参考答案:(1)25分:;30分:;获得实习机会的概率:(2);。21. (12分)如图,在梯形中,平面平面,四边形是矩形,点在线段上。()求证:平面;()当为何值时,平面?证明你的结论;()求二面角的余弦值。参考答案:()在梯形中,所以,又,所以,平面平面,平面平面=,所以平面。()当时,平面证明:在梯形中,设,连接,所以 ,所以,因为,所以,又平面,所以平面()利用向量法可解得二面角的余弦值为,过程略。22. 已知椭圆的两个焦点分别为,点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直()求椭圆C的方程;()过点M(1,0)的直线l与椭圆C相交于A,B两点,设点N(3,2),记直线AN,BN的斜率分别为k1,k2,求证:k1+k2为定值参考答案:【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程【分析】()依题意,a2b2=2,利用点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直,可得b=|OM|=1,从而可得椭圆的方程;(II)当直线l的斜率不存在时,求出A,B的坐标,进而可得直线AN,BN的斜率,即可求得结论;当直线l的斜率存在时,直线l的方程为:y=k(x1),代入,利用韦达定理及斜率公式可得结论【解答】解:()依题意,a2b2=2,点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直,b=|OM|=1,椭圆的方程为(II)当直线l的斜率不存在时,由解得设,则为定值当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为:y=k(x1)将y=k(x1)代入整理化简,得(3k2+1)x26k2x+3k23=0依题意,直线l与椭圆C必相交于两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则,又y1=k(x11),y2=k(x21),所以=综上得k1+k2为常数2.
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