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2021年广东省揭阳市北山中学高三数学文联考试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 设a20.3,b0.32, clogx(x20.3)(x1),则a,b,c的大小关系是()Aabc Bbac Ccba Dbca参考答案:B略2. 如图,直三棱柱ABB1-DCC1中,ABB1=90,AB=4,BC=2,CC1=1,DC上有一动点P,则APC1周长的最小值为A. 5- B. 5+C. 4+ D. 4-参考答案: 答案:B 3. 曲线f(x)=ax2(a0)与g(x)=lnx有两条公切线,则a的取值范围为()A(0,)B(0,)C(,+)D(,+)参考答案:D【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】11 :计算题;33 :函数思想;49 :综合法;52 :导数的概念及应用【分析】分别求出导数,设出各自曲线上的切点,得到切线的斜率,再由两点的斜率公式,结合切点满足曲线方程,可得切点坐标的关系式,整理得到关于一个坐标变量的方程,由已知的两条切线得到方程有两个解,借助于函数的极值和最值,即可得到a的范围【解答】解:y=ax2的导数y=2ax,y=lnx的导数为y=,设与y=ax2相切的切点为(s,t),与曲线g(x)=lnx相切的切点为(m,n)m0,则有公共切线斜率为2as=,又t=as2,n=lnm,即有2as=,整理得as2ln(2as)1=0设f(s)=as2ln(2as)1,所以f(s)=2as=,因为a0,s0,所以由f(s)0得到当s时,f(s)0,f(s)单调递增,当0s时,f(s)0,f(s)单调递减即有s=处f(s)取得极小值,也为最小值,且为f()=,由恰好存在两条公切线,即f(s)=0有两解,由f(0)+,s,f(s)+,所以只要f()0可得a的范围是a故选D4. 设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )A若,则B若,且,则C若,则D若,则参考答案:C5. 已知,则(A)(B)(C)(D)参考答案:A【命题意图】本小题主要考查指对数函数等基础知识;考查学生的推理论证能力、运算求解能力以及数据处理能力;考查化归与转化思想、函数与方程思想;考查数学运算和数据分析.【试题简析】【错选原因】错选B:对数函数的换底公式不熟悉导致;错选D:对数函数的换底公式不熟悉导致;错选C:指数的运算不过关导致.6. 设等差数列的前项和为,若,则( ) A24 B19 C36 D40参考答案:A由,得,。所以,故选择A。7. 对于空间的两条直线m、n和一个平面,下列命题中的真命题是()A若m,n,则mnB若m,n?,则mnC若m,n,则mnD若m,n,则mn参考答案:D【考点】命题的真假判断与应用;空间中直线与直线之间的位置关系;空间中直线与平面之间的位置关系【分析】A利用线面平行的性质定理即可得出;B利用线面平行的性质定理即可得出;C利用线面平行与垂直的性质定理即可得出;D利用线面垂直的性质定理即可得出【解答】解:A若m,n,则mn、相交或为异面直线,因此A不正确;B若m,n?,则mn或为异面直线,因此B不正确;C若m,n,则mn,因此C不正确;D若m,n,利用线面垂直的性质定理可知:mn正确故选:D8. 若且2=2,则的最小值是( ) A2 B C. D参考答案:D9. 已知函数是定义在上的奇函数,且满足,则的取值范围为( )ABCD 参考答案:D10. 已知直线与直线平行且与圆:相切,则直线的方程是( )A. B. 或C. D. 或参考答案:D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知实数x0,y0,且满足,则x2y的最小值为_。参考答案: ,则 ,设 ,则由已知可得 解得 ,当且仅当 即 时等号成立即答案为12. 若行列式中,元素4的代数余子式大于0,则x满足的条件是_ . 参考答案: 解析:依题意,得: (-1)2(9x-24)0,解得:13. 某校的一个志愿者服务队由高中部学生组成,成员同时满足以下三个条件:(1)高一学生人数多于高二学生人数;(2)高二学生人数多于高三学生人数;(3)高三学生人数的3倍多于高一高二学生人数之和若高一学生人数为7,则该志愿者服务队总人数为 参考答案:18 14. 已知为锐角,则_参考答案:【分析】先求出,再利用两角和的正弦公式展开,带值计算即可.【详解】解:为锐角,则为钝角,则,故答案为:.【点睛】本题考查已知角的三角函数值求未知角的三角函数值,关键是要找到已知角和未知角之间的关系,将未知角用已知角表示出来,是基础题.15. 已知实数x,y满足则的最大值是 参考答案:516. 设复数为实数时,则实数的值是_.参考答案:3略17. 已知数列an满足:(),若,则 .参考答案:试题分析:因,故当时,即时,即,所以;当时,即时,可得,不成立,所以,应填.考点:分段数列的通项及运用三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 已知椭圆C的极坐标方程为2=,焦距为2,求实数a的值参考答案:椭圆C的极坐标方程为2=,焦距为2,由=1,得a=12略19. 在ABC中,三边a,b,c所对应的角分别是A,B,C,已知a,b,c成等比数列(1)若+=,求角B的值;(2)若ABC外接圆的面积为4,求ABC面积的取值范围参考答案:【考点】正弦定理;余弦定理【分析】(1)由切化弦、两角和的正弦公式化简式子,由等比中项的性质、正弦定理列出方程,即可求出sinB,由内角的范围和特殊角的三角函数值求出B;(2)由余弦定理和不等式求出cosB的范围,由余弦函数的性质求出B的范围,由正弦定理和三角形的面积公式表示出ABC面积,利用B的范围和正弦函数的性质求出ABC面积的范围【解答】解:(1)由题意得,(2分)a,b,c成等比数列,b2=ac,由正弦定理有sin2B=sinAsinC,(3分)A+C=B,sin(A+C)=sinB,得,即,由b2=ac知,b不是最大边,(6分)(2)ABC外接圆的面积为4,ABC的外接圆的半径R=2,(7分)由余弦定理b2=a2+c22accosB,得,又b2=ac,当且仅当a=c时取等号,B为ABC的内角,(9分)由正弦定理,得b=4sinB,(10分)ABC的面积,(11分),(12分)【点评】本题考查正弦定理和余弦定理,切化弦、两角和的正弦公式,正弦、余弦函数的性质等,考查化简、变形能力,属于中档题20. 已知数列an中,a1 =1,前 n 项和为Sn,且点(an,an+1)在直线xy+1=0上 计算+参考答案:解: 点(an,an+1)在直线xy+1=0上, an an+1+1=0, 即an+1= an +1, 3分 an是等差数列,首项和公差均为1, an =1+( n1)= n 6分 Sn = 1+2+ n=,8分=2() 10分+=2(1)+2()+2()+2()=2(1)= 14分21. 如图1,等腰梯形BCDP中,BCPD,BAPD于点A,PD=3BC,且AB=BC=1沿AB把PAB折起到PAB的位置(如图2),使PAD=90()求证:CD平面PAC;()求二面角APDC的余弦值;()线段PA上是否存在点M,使得BM平面PCD若存在,指出点M的位置并证明;若不存在,请说明理由参考答案:【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定【分析】()推导出PAAD,ABAP,从而PA面ABCD,进而PACD,再推导出ACCD,由此能求出CD平面PAC()推导出PA面ABCD,ABAD,从而建立空间直角坐标系,求出平面PAD的法向量和平面PCD的一个法向量,利用向量法能求出二面角APDC的余弦值()设,利用向量法能求出线段PA上存在点M,使得BM平面PCD【解答】(本小题共14分)证明:()因为PAD=90,所以PAAD因为在等腰梯形中,ABAP,所以在四棱锥中,ABAP又ADAB=A,所以PA面ABCD因为CD?面ABCD,所以PACD因为等腰梯形BCDE中,ABBC,PD=3BC,且AB=BC=1所以,AD=2所以AC2+CD2=AD2所以ACCD因为PAAC=A,所以CD平面PAC 解:()由()知,PA面ABCD,ABAD,如图,建立空间直角坐标系,A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1)所以,由()知,平面PAD的法向量为,设为平面PCD的一个法向量,则,即,再令y=1,得 =所以二面角APDC的余弦值为 ()线段PA上存在点M,使得BM平面PCD依题意可设,其中01所以M(0,0,),由()知,平面PCD的一个法向量因为BM平面PCD,所以,所以,解得所以,线段PA上存在点M,使得BM平面PCD22. 如图,直角梯形中,过作,垂足为、分别是、的中点现将沿折起,使二面角的平面角为(1)求证:平面平面;(2)求直线与面所成角的正弦值参考答案:(1)证明:DEAE,CEAE, AE平面, 3分 AE平面,平面平面5分(2)(方法一)以E为原点,EA、EC分别为轴,建立空间直角坐标系6分DEAE,CEAE,是二面角的平面角,即=,7分,A(2,0,0),B(2,1,0),C(0,1,0),E(0,0,0),D(0,1)9分
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