2021年江苏省无锡市高级中学高三数学文期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设i是虚数单位，复数为实数，则实数a的值为（）A1B2C3D4参考答案：B2. 函数的大致图象是参考答案：A3. 已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 参考答案：D略4. 下列函数中，图象关于原点对称且单调递增的是（A）（B）（C）（D）参考答案：D【命题意图】本小题主要考查函数的图象与奇偶性、单调性、定义域等基础知识；考查学生的运算求解能力；考查数形结合思想、特殊与一般思想；考查数学抽象、直观想象和数学运算等.【试题简析】A选项：，不符合图象上升这个条件；B选项：定义域不关于原点对称；C选项函数图象先减后增，在时函数取得最小值；故选D【错选原因】错选A：符合图象关于原点对称这个条件；错选B：有的学生可能会通过各种方法判断函数的单调性，却忽略了定义域不关于原点对称；错选C：有的学生可能根据函数过而错选此项.5. 已知定义在1，+）上的函数 ，则下列结论正确的是A. 函数的值域为1，4； B.关于的方程（nN*）有个不相等的实数根；C.当x2n1，2n（nN*）时，函数的图象与轴围成的面积为2；D.存在实数，使得不等式成立.参考答案：C6. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积为 A. B C. D. 参考答案：A根据三视图复原的几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥其中ABCD是直角梯形，ABAD， AB=AD=2，BC=4，即PA平面ABCD，PA=2。且底面梯形的面积为，所以.选A.7. 已知变量满足约束条件若恒成立，则实数的取值范围为( )A. (-,-1 B. -1,+) C. -1,1 D. -1,1)参考答案：【知识点】简单线性规划E5C 解析：由题意作出其平面区域，则x+2y5恒成立可化为图象中的阴影部分在直线x+2y=5的上方，则实数a的取值范围为1，1故答案为：1，1【思路点拨】由题意作出其平面区域，则x+2y5恒成立可化为图象中的阴影部分在直线x+2y=5的上方，从而解得8. 命题关于的方程有三个实数根；命题;则命题成立是命题成立的（ ）A充分而不必要的条件 B必要而不充分的条件C充要条件 D既不充分又不必要的条件参考答案：B由方程 易知函数是上的奇函数，由的图像可知，函数在上的最大值是1，根据图像的对称性知函数在上的最小值为 又函数的图像与轴有3个交点，那么原方程有3个实数根的充要条件是而 所以选择9. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为yx2，值域为（1,4）的“同族函数”共有（）A、7个B、8个C、9个D、10个参考答案：C由题意，问题的关键在于确定函数定义域的个数：函数解析式为，值域为，那么定义域内的元素可为，则定义域可为下列的9种：，因此“同族函数”有9个.10. 设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则的面积为（ ） A4 B C D6参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知实数x，y满足不等式组 ，则z=|x|+y的取值范围为 参考答案：1，【考点】简单线性规划【分析】先画出满足条件的平面区域，通过讨论x的范围，求出直线的表达式，结合图象从而求出z的范围【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，z=|x|+y=，当M（x，y）位于D中y轴的右侧包括y轴时，平移直线：x+y=0，可得x+y1，2，当M（x，y）位于D中y轴左侧，平移直线x+y=0，可得z=x+y（1，所以z=|x|+y的取值范围为：1，故答案为：1，12. 已知函数，则 .参考答案：9【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/反函数；方程与代数/矩阵与行列式初步/二阶、三阶行列式.【试题分析】函数，令，解得.根据互为反函数的两个函数之间的关系可知，故答案为9.13. （选修44坐标系与参数方程）极坐标方程分别为和的两个圆的圆心距为 参考答案：（1）14. 若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为_ .参考答案：15. 若和是两个互相垂直的单位向量，则_参考答案：试题分析：因,故.考点：向量的模与计算公式16. 在中，角，的对边分别为，若，则_参考答案：或由余弦定理可得，将，代入得，解得或17. 已知函数，若方程至少有一个实数解，则实数的取值范围是_.参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，点是的中点。（）求证：（）求证：参考答案：解析： 又 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）连结交于点，并连结EO， 四边形为平行四边形为的中点 又为的中点 在中EO为中位线， 19. 如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面为正三角形，E、F、G分别是BC、CC1、BB1的中点（1）若BC=BB1，求证：BC1平面AEG；（2）若D为AB中点，CA1D=45，四棱锥CA1B1BD的体积为，求三棱锥FAEC的表面积参考答案：【考点】LW：直线与平面垂直的判定；LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】（1）证明AE平面B1BCC1，则AEBC1，证明BC1GE，因为GEAE=E，所以BC1平面AEG；（2）证明CD平面A1ABB1，所以CDA1D，利用条件求出AB，即可求三棱锥FAEC的表面积【解答】（1）证明：如图，因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以AEBB1，又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AEBC，又BCBB1=B，所以AE平面B1BCC1，则AEBC1，连接B1C，易知四边形B1BCC1为正方形，则BC1B1C，又GEB1C，则BC1GE，因为GEAE=E，所以BC1平面AEG（2）解：因为ABC是正三角形，所以CDAB，又三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CDAA1，所以CD平面A1ABB1，所以CDA1D设AB=a，由题意，CA1D=45，所以CD=A1D=a，AA1=a，=，a=2，故三棱锥FAEC的表面积20. （10分）函数是定义在(1,1)上的奇函数，且.(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(1,1)上是增函数；(3)解不等式f(t1)f(t)0.参考答案：1x1x21，x1x20,1x120,1x220.又1x1x21，1x1x20f(x1)f(x2)0，f(x)在(1,1)上是增函数 7分(3)f(t1)f(t)f(t)f(x)在(1,1)上是增函数，1t1t1，解得0t. 10分21. 已知函数f（x）=|x1|2x+1|的最大值为m（1）作函数f（x）的图象（2）若a2+b2+2c2=m，求ab+2bc的最大值参考答案：【考点】分段函数的应用；绝对值不等式的解法【分析】（1）讨论x的范围：x，x1，x1，去掉绝对值，写出分段函数的形式，画出图象；（2）通过图象可得最大值m，设a2+b2+2c2=a2+tb2+（1t）b2+2c22ab+2bc，令2：2=1：2，求出t的值，即可得到所求最大值【解答】解：（1）f（x）=|x1|2x+1|=，由分段函数的图象画法可得图象如右；（2）由（1）知，当x=时，f（x）的最大值为，即m=；a2+b2+2c2=，设a2+b2+2c2=a2+tb2+（1t）b2+2c22ab+2bc，令2：2=1：2，即8（1t）=16t 得：t=，a2+b2+2c2=a2+b2+b2+2c22?ab+4?bc= （ab+2bc）ab+2bc（a2+b2+2c2）=（当且仅当a2=c2=，b2=时取“=”号）22. （本小题满分14分）设数列an满足：a1=1，an+1=3an，nN*设Sn为数列bn的前n项和，已知b10，2bnb1=S1?Sn，nN*（）求数列an，bn的通项公式；（）设cn=bn?log3an，求数列cn的前n项和Tn；（）证明：对任意nN*且n2，有+参考答案：（）an=3n1，bn=2n1；（）Tn=(n2)2n+2；（）见解析 【知识点】数列的求和D4解析：（）an+1=3an，an是公比为3，首项a1=1的等比数列，通项公式为an=3n1 2分2bnb1=S1?Sn，当n=1时，2b1b1=S1?S1，S1=b1，b10，b1=1 3分当n1时，bn=SnSn1=2bn2bn1，bn=2bn1，bn是公比为2，首项a1=1的等比数列，通项公式为bn=2n1 5分（）cn=bn?log3an=2n1log33n1=(n1)2n1， 6分Tn=0?20+1?21+2?22+(n2)2n2+(n1)2n1 2Tn= 0?21+1?22+2?23+(n2)2n1+(n1) 2n 得：Tn=0?20+21