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2021年云南省昆明市呈贡县第一中学高三数学文期末试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 在平面直角坐标系中,为坐标原点,则的取值范围 ( )参考答案:B2. 等差数列an的前n项和Sn ,,则的值为( )A 40 B 52 C. 56 D64参考答案:D3. 函数的图象如右图所示,则导函数的图象的大致形状是( )参考答案:D4. 执行如图的程序框图,若输出k的值为6,则判断框内可填入的条件是()AsBsCsDs参考答案:B【考点】EF:程序框图【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案【解答】解:当k=9,S=1时,不满足输出条件,故S值应满足条件,执行循环体后:S=,k=8;当k=8,S=时,不满足输出条件,故S值应满足条件,执行循环体后:S=,k=7;当k=7,S=时,不满足输出条件,故S值应满足条件,执行循环体后:S=,k=6;当k=6,S=1时,满足输出条件,故S值应不满足条件,故判断框内可填入的条件是s,故选:B5. 已知对任意实数,有,且时,则时( )A BC D参考答案:B6. 渐近线方程为的双曲线的离心率是( )A. B. C. 2D. 2或参考答案:D【分析】讨论焦点所在的坐标轴,根据渐近线方程求出和 ,再由 关系求离心率即可求解【详解】 因为双曲线的渐近线方程为,即 当焦点在轴上时,设双曲线方程,由 所以 , 当焦点在轴,设双曲线方程,由解得 所以答案为D【点睛】本题考查由渐近线求双曲线的离心率,比较基础7. 已知,定义域为,任意,点组成的图形为正方形,则实数的值为()A B C D参考答案:D略8. 已知和是两条不同的直线,和是两个不重合的平面,下面给出的条件中一定能推出的是( ) 参考答案:C9. 已知函数, 则( )A. B. C. D.参考答案:B略10. 已知,则的表达式为( ) B C D参考答案:A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,若抛物线在点处的切线斜率为1,则线段 参考答案:1设,因为,所以,可得,因为,所以直线的方程为,故.12. (06年全国卷)设,式中变量满足下列条件,则z的最大值为_。参考答案:答案:11解析:,在坐标系中画出图象,三条线的交点分别是A(0,1),B(7,1),C(3,7),在ABC中满足的最大值是点C,代入得最大值等于11.13. 已知函数若,则 .参考答案:或略14. 函数()的反函数是 .参考答案: 15. 若函数f(x)=是奇函数,那么实数a=参考答案:1【考点】奇函数【分析】利用奇函数定义中的特殊值f(0)=0解决问题【解答】解:因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,解得a=1故答案为:1【点评】本题考查奇函数定义中的特殊值16. 设数列的前项和,则的值为_ _参考答案:14略17. 设向量满足,且若,则= 参考答案:三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 设函数f(x)=2x+2ax+b且f(1)=,f(0)=2(1)求a,b的值; 判断函数f(x)的奇偶性;(2)判断函数f(x)在(0,+)上的单调性;(3)若关于x的方程mf(x)=2x在1,1上有解,求实数m的取值范围参考答案:【考点】利用导数研究函数的单调性;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断【分析】(1)由已知中f(1)=,f(0)=2,构造方程求出a,b的值,进而根据奇偶性的定义,可得结论;(2)证法一:设x1,x2是区间(0,+)上的两个任意实数,且x1x2,作差判断f(x1),f(x2)的大小,可得结论;证法二:求导,根据x(0,+)时,f(x)0恒成立,可得:函数f(x)在(0,+)上为单调递增函数;(3)若关于x的方程mf(x)=2x在1,1上有解,即m=在1,1上有解,求出f(x)=的值域,可得答案【解答】解:(1)f(1)=,f(0)=2+2a+b=,1+2b=2,解得:a=1,b=0,f(x)=2x+2x; 函数的定义域为R,且f(x)=2x+2x=f(x),故函数为偶函数,(2)证法一:设x1,x2是区间(0,+)上的两个任意实数,且x1x2,于是f(x2)f(x1)=()()=()因为x2x10,所以,所以f(x2)f(x1)0,所以f(x1)f(x2),所以函数f(x)在(0,+)上为单调增函数证法二:f(x)=2x+2xf(x)=ln2?(2x+2x)当x(0,+)时,f(x)0恒成立,故函数f(x)在(0,+)上为单调递增函数;(3)若关于x的方程mf(x)=2x在1,1上有解,即m=在1,1上有解,令f(x)=,则f(x),故m,19. 设O是坐标原点, F是抛物线的焦点, C是该抛物线上的任意一点,当与y轴正方向的夹角为60时, .(1)求抛物线的方程;(2)已知,设B是该抛物线上的任意一点, M, N是x轴上的两个动点,且,,当计取得最大大值时,求的面积.参考答案:(1)设 ,则由抛物线的定义得.当与轴正方向的夹角为时, ,即.又,所以,抛物线的方程为.(2)因为,所以点在线段的中垂线上,设,则,所以,所以.当且仅当时等号成立,此时.所以.20. 如图,已知点,点P在圆C:上,点M在AP上,点N在CP上,且满足AM=MP,NMAP,设点N的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)过原点且斜率为k(k 0)的直线交曲线E于G、F两点,其中G在第一象限,它在y轴上的射影为点Q,直线FQ交曲线E于另一点H,证明:GHGF.参考答案:()NM为AP的垂直平分线,|NA|=|NP|,又|CN|+|NP|=,|CN|+|NA|=2.动点N的轨迹是以点,为焦点的椭圆,3分且长轴长,焦距,曲线E的方程为.5分()设G(x1,kx1),H(x2,y2),则F(x1,kx1),Q(0,kx1),直线FQ的方程为y2kxkx1,将其代入椭圆E的方程并整理可得(24k2)x24k2x1xk2x1220.依题意可知此方程的两根为x1,x2,于是由韦达定理可得x1x2,即.因为点H在直线FQ上,所以y2kx12kx2.9分于是(2x1,2kx1),(x2x1,y2kx1)(,)而等价于.12分略21. (本小题满分12分)中所对的边分别为,且()求的大小;()若求的面积并判断的形状参考答案:(),2分, 4分, 6分()由题意知,, , 8分, 10分由,得,为等边三角形 12分22. (本小题满分12分)某数学老师对本校2013届高三学生的高考数学成绩按1:200进行分层抽样抽取了20名学生的成绩,并用茎叶图记录分数如图所示,但部分数据不小心丢失,同时得到如下所示的频率分布表:分数段(分)50,70)70,90)90,110)110,130)130,150)总计频数b频率a0.25(1)求表中a,b的值及分数在90,100)范围内的学生人数,并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率(分数在90,150)内为及格):(2)从成绩在100,130)范围内的学生中随机选4人,设其中成绩在100,110)内的人数为X,求X的分布列及数学期望.参考答案:(1),90,100)范围内的学生人数为4,及格率为;(2)分布列详见解析,.(2)由茎叶图可知分数在100,130)范围内的有7人,分数在100,110)范围内的有4人,则随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.相应的概率为:P(X=1)= ;P(X=2)= ;P(X=3)=;P(X=4)=.随机变量X的分布列为X1234PE(X)=1+2+3+4=考点:1.茎叶图;2.频率;3.随机变量的分布列和数学期望.
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