2021年安徽省马鞍山市第十九中学高三数学文下学期期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数f（x）=，若当方程f（x）=m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1x2x3x4）时，不等式kx3x4+x12+x22k+11恒成立，则实数k的最小值为 （）AB2CD参考答案：B【考点】函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题；分段函数的应用【分析】画出函数f（x）=的图象，结合对数函数的图象和性质，可得x1?x2=1，x1+x2=2，（4x3）?（4x4）=1，且x1+x2+x3+x4=8，则不等式kx3x4+x12+x22k+11恒成立，可化为：k恒成立，求出的最大值，可得k的范围，进而得到实数k的最小值【解答】解：函数f（x）=的图象如下图所示：当方程f（x）=m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1x2x3x4）时，|lnx1|=|lnx2|，即x1?x2=1，x1+x2=2，|ln（4x3）|=|（4x4）|，即（4x3）?（4x4）=1，且x1+x2+x3+x4=8，若不等式kx3x4+x12+x22k+11恒成立，则k恒成立，由= （x1+x2）4+82故k2，故实数k的最小值为2，故选：B2. 已知为ABC的三内角A，B，C的对边，向量，若，且的大小分别为（ ）ABCD参考答案：C略3. 已知复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A（l，2），B（1，3），则： A1+i Bi C1i D一i参考答案：4. 一个三角形可分为以内切圆半径为高，以原三角形三条边为底的三个三角形，类比此方法，若一个三棱锥的体积V=2，表面积S=3，则该三棱锥内切球的体积为（）A81B16CD参考答案：C【考点】类比推理【分析】根据类似推理可以得到一个三棱锥分为以内切球半径为高，以原三角锥四个面为底的四个三角锥，利用等体积求出内切球半径，即可求出该三棱锥内切球的体积【解答】解：由一个三角形可分为以内切圆半径为高，以原三角形三条边为底的三个三角形，可以类比一个三棱锥分为以内切球半径为高，以原三角锥四个面为底的四个三角锥，设三棱锥的四个面积分别为：S1，S2，S3，S4，由于内切球到各面的距离等于内切球的半径V=（S1r+S2r+S3r+S4r）=Sr内切球半径r=2，该三棱锥内切球的体积为?23=故选：C5. “sin=cos”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分必要条件的定义结合集合的包含关系判断即可【解答】解：由“sin=cos”得：=k+，kZ，故sin=cos是“”的必要不充分条件，故选：B6. 设是定义在R上的偶函数，对，都有，且当时，若在区间内关于的方程（1）恰有3个不同的实根，则的取值范围是（ ） A.(1,2) B. C. D.参考答案：D略7. 已知函数其中,则下列结论中正确的是A是最小正周期为的偶函数 B的一条对称轴是C的最大值为2 D将向左平移个单位得到函数的图象参考答案：D8. 若直角坐标平面内的两点、满足条件：如果若干个函数图象经过平移后能够重合，则称这上结函数为“同族函数”，给出下列函数： ； 其中“同族函数”的是A B C D参考答案：C9. 在中，角、所对应的变分别为、，则是的（ ）A.充分必要条件 B.充分非必要条件C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件参考答案：A略10. 函数的最小正周期为A B CD参考答案：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知m=3sinxdx，则二项式（a+2b3c）m的展开式中ab2cm3的系数为参考答案：6480【考点】二项式定理的应用；定积分【分析】求定积分得到m=6，再利用二项式定理求得展开式中ab2cm3的系数【解答】解：m=3sinxdx=3cosx=6，则二项式（a+2b3c）6 =（2b3c）+a6展开式中含ab2c3的项为a?（2b3c）5；对于（2b3c）5，含b2c3的项为?（2b）2?（3c）3，故含ab2c3的项的系数为?22?（3）3=6480，故答案为：648012. 若不等式4x2x1a0在x1，1上恒成立，则实数a的取值范围为 参考答案：(，113. 设a+b=M（a0，b0），M为常数，且ab的最大值为2，则M等于 参考答案：【考点】基本不等式【分析】由基本不等式，ab（）2=可求ab的最大值，结合已知即可求解M【解答】解：a+b=M（a0，b0），由基本不等式可得，ab（）2=，ab的最大值为2，=2，M0，M=2，故答案为：14. 在等差数列中，则的值为 参考答案：略15. 已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的表面上，AB=AC=5，BC=8，AD底面ABC，G为ABC的重心，且直线DG与底面ABC所成角的正切值为，则球O的表面积为参考答案：【考点】球的体积和表面积【分析】求出ABC外接圆的直径，利用勾股定理求出球O的半径，即可求出球O的表面积【解答】解：由题意，AG=2，AD=1，cosBAC=，sinBAC=，ABC外接圆的直径为2r=，设球O的半径为R，R=球O的表面积为，故答案为16. 在ABC中，B（10，0），直线BC与圆：x2+（y5）2=25相切，切点为线段BC的中点若ABC的重心恰好为圆的圆心，则点A的坐标为参考答案：（0，15）或（8，1）考点：直线与圆的位置关系343780 专题：直线与圆分析：设BC的中点为D，设点A和C的坐标，根据圆心（0，5）到直线AB的距离等于半径5求出AB的斜率k的值再由斜率公式以及DBC，求出C的坐标，再利用三角形的重心公式求得A的坐标解答：解：设BC的中点为D，设点A（x1，y1 ）、C（x2，y2），则由题意可得DBC，且D（，）故有圆心（0，5）到直线AB的距离D=r=5设BC的方程为y0=k（x10），即 kxy10k=0则有 =5，解得 k=0或 k=当k=0时，有，当k=时，有 解得，或 再由三角形的重心公式可得 ，由此求得 或 ，故点A的坐标为 （0，15）或（8，1），故答案为 （0，15）或（8，1）点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式、斜率公式、三角形的重心公式，属于中档题17. 命题“xR,2x2-3ax+90”为假命题,则实数a的取值范围为参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB=4,E是AD的中点将ABE沿BE折起使A到点P的位置，平面PEB平面BCDE，如图2. ()求证：PB平面PEC；（）求三棱锥D-PEC的高.参考答案：（）由已知，平面PBE平面BCDE，BEEC，EC平面PBE， 2分PB平面PBE，PBEC，又PBPE，ECPE=E，PB平面PEC. 5分（）设O是BE的中点，PB=PE，POBE， PO平面BCDE，由（）EC平面PBE，PEEC， 7分记三棱锥D-PEC的高为h，即， 10分解得h=1，三棱锥D-PEC的高h=1. 12分19. 已知函数(1)求函数的定义域; (2)判断函数的奇偶性; (3)求证:0.参考答案：解： (1) (2)设 为偶函数 (3)当x0时，1，-10 又x0,则0 由为偶函数知，当x0时，0综上可知当0 略20. 本小题满分12分）在等差数列中，.（）求数列的通项公式；（）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和.参考答案：21. 已知函数， ，其中为自然对数的底数.（）讨论函数的单调性.（）试判断曲线与是否存在公共点并且在公共点处有公切线.若存在，求出公切线的方程；若不存在，请说明理由.参考答案：（）见解析（）.试题解析：（），令得.当且时， ；当时， .所以在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增.（）假设曲线与存在公共点且在公共点处有公切线，且切点横坐标为，则，即，其中（2）式即.记， ，则，得在上单调递减，在上单调递增，又， ， ，故方程在上有唯一实数根，经验证也满足（1）式.于是， ， ，曲线与的公切线的方程为，即.22. （15分）（2010?宁波二模）已知ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且，b=1（1）若，求边c的大小； （2）求AC边上高的最大值参考答案：【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理【专题】计算题【分析】（1）利用二倍角公式化简已知等式，求出角B，进一步求出角C，利用三角形的正弦定理求出边c的值（2）设出AC边上高，利用三角形的面积公式列出等式，得到高h与边a，c的关系，利用余弦定理得到三角形的三边间的关系，利用基本不等式求出ac的范围，进一步求出高的取值范围【解答】解：（1），所以或（舍），得，则，得（2）设AC边上的高为h，又b2=a2+c22accosB=a2+c2acac，ac1，当a=c时取等号所以AC边上的高h的最大值为【点评】求三角形的边、角问题，一般利用三角形的正弦定理、余弦定理来解决；利用基本不等式求函数的最值问题，一定注意使用的条件：一正、二定、三相等