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2021年安徽省黄山市石门中学高三数学文联考试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 复数的虚部为( )Al B C D参考答案:C2. 若集合A=x|y=,B=x|y=ln(x+1),则AB=()A0,+)B(0,1)C(1,+)D(,1)参考答案:A【考点】1E:交集及其运算【分析】分别根据根式的被开放式非负,对数的真数大于0,化简集合A,B,再由交集的定义,即可得到所求集合【解答】解:集合A=x|y=x|x0B=x|y=ln(x+1)=x|x+10=x|x1,则AB=x|x0=0,+)故选:A3. 设函数,若,则实数(A)4或2 (B)4或2 (C)2或4 (D)2或2参考答案:B本题主要考查了分段函数及其函数求值问题,结合分类讨论思想的应用,难度较小。当a0时,f(a)=a=4,解得a=4,满足条件;当a0时,f(a)=a2=4,解得a=2,结合条件可得a=2;故选B;4. 如图所示,已知点G是ABC的重心,过点G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且,则的值为()A3 B. C2 D. 参考答案:B5. 在OAB中,O为坐标原点,则当OAB的面积达最大值时,=()ABCD参考答案:D【考点】数量积表示两个向量的夹角;向量在几何中的应用【分析】在边长为1的正方形中,减去要求的三角形以外的三角形的面积,把要求的结果表示为有三角函数的代数式,后面题目变为求三角函数的最值问题,逆用二倍角公式得到结果【解答】解:在直角坐标系里OAB的面积=1=(0,2(0,当2=时取得最大,即=故选D6. an是等差数列,a10,a2009a20100,a2009a20100成立的最大自然数n是 A4019 B4018 C4017 D4016参考答案:B7. 设双曲线的一个焦点为,虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为( )A B C D参考答案:D8. 函数f(x)的图象向右平移一个单位长度,所得图象与y=ex关于y轴对称,则f(x)=( )A. B. C. D. 参考答案:D略9. 记函数y=f(x)的反函数为y=f1(x)如果函数y=f(x)的图象过点(0,1),那么函数y=f1(x)+1的图象过点()A(1,1)B(0,2)C(0,0)D(2,0)参考答案:A略10. 函数y=的图象大致是()ABCD参考答案:D【考点】4N:对数函数的图象与性质【分析】先由奇偶性来确定是A、B还是C、D选项中的一个,再通过对数函数,当x=1时,函数值为0,可进一步确定选项【解答】解:f(x)=f(x)是奇函数,所以排除A,B当x=1时,f(x)=0排除C故选D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设z=kx+y,其中实数x、y满足 , 若z的最大值为12,则实数k= 参考答案:2略12. 对于函数,若有六个不同的单调区间,则的取值范围为 参考答案:(0,3)13. 在区间1,9上随机取一实数,则该实数在区间4,7上的概率为 .参考答案:14. 已知,则 .参考答案:215. 过点A(2,-3),且法向量是的直线的点方向式方程是 。参考答案:略16. 若不等式t2+at+10对恒成立,实数a的最小值是 参考答案:考点:函数恒成立问题 专题:函数的性质及应用分析:因为函数对恒成立,分离参数a,利用均值不等式即可求出最小值解答:解:若不等式t2+at+10对恒成立,则att21,所以,当且仅当t=2时取等号但是,所以根据函数得单调性,当t=时取最小值所以a的最小值为故答案为:点评:本题主要考查函数恒成立问题,利用均值不等式时取不到等号,要利用单调性来处理问题的方法,属于中档题17. 若“”是“”的充分不必要条件,则实数a的取值范围为 .参考答案:三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 已知函数(1)求不等式的解集;(2)设x表示不大于x的最大整数,若对恒成立,求a的取值范围.参考答案:(1)(2,4);(2)(2,1).【分析】(1)将函数的绝对值去掉等价于再分别解不等式并取交集;(2)利用取整函数的定义,将不等式转化为,再利用(1)的结论进行求解.【详解】(1)由得:或或解得:;由,或或解得:.故不等式的解集为:.(2)依题意可得等价于,由(1)知的解集为.因为对恒成立,所以,所以解得,所以a的取值范围为.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、取整函数的应用,考查分类讨论思想和数形结合思想的应用,第(2)问取整函数不等式的等价转化是求解问题的关键.19. 设函数 (其中).(1)若对恒成立,求实数的取值范围;(2)当时,求函数在上的最大值.参考答案:(1);(2).试题分析:(1)对恒成立等价于恒成立,记利用导数求单调区间,进而求函数最小值即可;(2)先证明当时,函数递减,当时,函数递增,则,利用导数证明即可.试题解析: (1) ,记则在上是增函数, 。1令,则,令,则 所以在上递减,而 所以存在使得,且当时,当时, 所以在上单调递增,在上单调递减. 因为,所以即在上恒成立,当且仅当时取得“”. 综上,函数在上的最大值. 考点:1、利用导数研究函数的单调性;2、利用导数求闭区间上函数的最值.【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值、最值,属于难题.求函数极值进而求最值的步骤:(1)确定函数的定义域;(2)求导数;(3)解方程求出函数定义域内的所有根;(4)列表检查在的根左右两侧值的符号,如果左正右负(左增右减),那么在处取极大值,如果左负右正(左减右增),那么在处取极小值.(5)如果只有一个极值点,则在该处即是极值也是最值;(6)如果求闭区间上的最值还需要比较端点值得函数值与极值的大小.20. 已知f(x)=(x2+ax+a)ex(a2,xR)(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;(2)是否存在实数a,使f(x)的极大值为3?若存在,求出a的值,若不存在,说明理由参考答案:【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性【分析】(1)把a=1代入,对函数求导,分别解不等式f(x)0,f(x)0,从而可求函数的单调区间(2)先假设f(x)的极大值为3仿照(1)研究函数的单调区间,由单调区间求出函数的极大值,结合条件进行判断【解答】解:(1)当a=1时,f(x)=(x2+x+1)ex;f(x)=ex(x2+x)当f(x)0时,0x1当f(x)0时x1或x0f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(,0)(1,+)(2)f(x)=(2x+a)exex(x2+ax+a)=exx2+(2a)x令f(x)=0,得x=0或x=2a,列表如下:由表可知f(x)极大=f(2a)=(4a)ea2设g(a)=(4a)ea2,g(a)=(3a)ea20g(a)在(,2)上是增函数,g(a)g(2)=23(4a)ea23不存在实数a使f(x)最大值为321. 已知四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形,PA平面ABCD,PA=AB=AC=2,AD=2,点E是线段AB上靠近B点的三等分点,点F、G分别在线段PD、PC上()证明:CDAG;()若三棱锥EBCF的体积为,求的值参考答案:【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的性质【分析】()推导出ABAC,ACCD,PACD,从而CD平面PAC,由此能证明CDAG()设点F到平面ABCD的距离为d,由=,能求出d,由此能求出的值【解答】证明:()棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形,PA=AB=AC=2,AD=2,AB2+AC2=BC2,ABAC,ABCD,ACCD,PA平面ABCD,CD?平面ABCD,PACD,ACPA=A,CD平面PAC,AG?平面PAC,CDAG解:()设点F到平面ABCD的距离为d,由=,解得d=, =【点评】本题考查线线垂直的证明,考查两线段比值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养22. (本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分已知函数的反函数为,记.(1)求函数的最小值;(2)【理科】若函数在区间上是单调递增函数,求实数的取值范围.参考答案:(1)由得,即()()由于,所以(当且仅当时,等号成立)所以当时,函数(2)【理科】由()得,8分在区间上是单调递增函数需满足:当时,即10分12分,即,13分,所以14分
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