2021年湖南省娄底市冷水江禾青镇禾青中学高三数学理下学期期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列命题正确的有 用相关指数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好； 命题:“”的否定:“”； 设随机变量服从正态分布N(0, 1),若，则； 回归直线一定过样本点的中心（）。A1个B. 2个 C. 3个 D. 4个参考答案：C略2. 已知a=，则展开式中，x3项的系数为（）ABCD参考答案：C【考点】二项式系数的性质；定积分【专题】计算题；二项式定理【分析】求定积分可得a的值，求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中的x3的系数【解答】解：a=dx=sinx=1，则二项式的展开式的通项公式为Tr+1=?（）r?x92r，令92r=3，求得r=3，展开式中x3项的系数为?=，故选：C【点评】本题主要考查求定积分，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题3. 某公司在20122016年的收入与支出情况如表所示：收入x（亿元）2.22.6 4.0 5.35.9支出y（亿元）0.21.52.02.5 3.8根据表中数据可得回归直线方程为=0.8x+，依次估计如果2017年该公司收入为7亿元时的支出为（）A4.5亿元B4.4亿元C4.3亿元D4.2亿元参考答案：B【考点】线性回归方程【分析】根据表中数据，计算、以及回归系数，写出回归方程，利用回归方程计算x=7时的值即可【解答】解：根据表中数据，计算=（2.2+2.6+4.0+5.3+5.9）=4，=（0.2+1.5+2.0+2.5+3.8）=2，=20.84=1.2，回归直线方程为=0.8x1.2，计算x=7时=0.871.2=4.4（亿元），即2017年该公司收入为7亿元时的支出为4.4亿元故选：B【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题4. 已知则f(lg3)+f(lg)等于 （ ）A.2 B.1 C.0 D. -1 参考答案：A5. 若直线与圆的两个交点关于直线对称，则的值分别为（ ）（A） （B） （C） （D）参考答案：A6. 已知抛物线C:的焦点为F,准线为，过抛物线C上一点A作准线的垂线，垂足为M，若AMF与AOF（其中O为坐标原点）的面积之比为3:1，则点A的坐标为A（1，2） B（，） C（4，1） D（2，2）参考答案：D略7. 设，则“”是“”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：若，则知即所以即；令，满足，但.所以是的充分而不必要条件. 选.8. 在中，若，则（ ）A. B. C. D.参考答案：A试题分析：由可得,故,则,故应选A.考点：两角和的正切公式及余弦二倍角公式的综合运用.9. 函数的图象过一个点P，且点P在直线上，则的最小值是（ ）A12 B13 C24 D25参考答案：D10. 为得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）A向左平移个单位 B向右平移个单位C向左平移个单位 D向右平移个单位参考答案：B略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若纯虚数z满足 参考答案：12. 复数z满足，则复数z的共轭复数_参考答案：【分析】对已知条件进行化简运算，得到，然后根据共轭复数的概念，得到【详解】，共轭复数故答案为：【点睛】本题考查复数的基本运算，共轭复数概念，属于简单题.13. （几何证明选做题）如图，已知的两条直角边、的长分别为cm、cm，以为直径作圆与斜边交于点，则的长为_cm. 参考答案：14. 已知函数的图像如右图所示，则 参考答案：15. 已知椭圆的焦点是双曲线的顶点，双曲线的焦点是椭圆的长轴顶点，若两曲线的离心率分别为则_.参考答案：1略16. 已知，则_.参考答案：17. 若正数x，y满足，则的最小值是 参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（为参数）（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求ABM面积的最大值参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（1）圆C的参数方程为，通过三角函数的平方关系式消去参数，得到普通方程通过x=cos，y=sin，得到圆C的极坐标方程（2）求出点M（x，y）到直线AB：xy+2=0的距离，表示出ABM的面积，通过两角和的正弦函数，结合绝对值的几何意义，求解ABM面积的最大值【解答】解：（1）圆C的参数方程为（为参数）所以普通方程为（x3）2+（y+4）2=4，x=cos，y=sin，可得（cos3）2+（sin+4）2=4，化简可得圆C的极坐标方程：26cos+8sin+21=0（2）点M（x，y）到直线AB：xy+2=0的距离为ABM的面积所以ABM面积的最大值为19. 已知抛物线C的方程y22px（p0），焦点为F，已知点P在C上，且点P到点F的距离比它到y轴的距离大1.（1）试求出抛物线C的方程；（2）若抛物线C上存在两动点M，N（M，N在对称轴两侧），满足OMON（O为坐标原点），过点F作直线交C于A，B两点，若ABMN，线段MN上是否存在定点E，使得恒成立？若存在，请求出E的坐标，若不存在，请说明理由.参考答案：(1) (2)存在，且坐标为(4,0) 【分析】（1）由到点的距离比它到轴的距离大1，结合抛物线定义可得，从而可得结果；（2）设，结合，可得直线，直线，与联立，利用弦长公式求得若点存在，设点坐标为，可得，时，从而可得结果.【详解】（1）因为到点的距离比它到轴的距离大1，由题意和抛物线定义，所以抛物线的方程为，（2）由题意，设由，得，直线，整理可得，直线若斜率存在，设斜率为，与联立得，若点存在，设点坐标为，时，解得或（不是定点，舍去）则点为经检验，此点满足，所以在线段上，若斜率不存在，则，此时点满足题意，综合上述，定点为.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：当条件和结论不唯一时要分类讨论；当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.20. （本小题满分14分）已知数列的前项和满足：，为常数，且，（1）求数列的通项公式；（2）若，设，且数列的前项和为，求证：参考答案：（1）解：， . 1分当时， 3分得， 4分 数列是首项为，公比也为的等比数列 5分. 6分（2）证明：当时，7分. 8分由， 10分. 11分 .13分 ， ，即. 14分21. 如图，在三棱锥中，为线段的中点，是线段上一动点（1）当时，求证：面；（2）当的面积最小时，求三棱锥的体积参考答案：（1）直角中，中，由知 3分 ，又面，面 6分（2）等腰直角中，由D为AC中点知，又由，知面由面 又，知面由面 ， 即为直角三角形 9分最小时，的面积最小过点D作PC的垂线时，当E为垂足时，DE最小为 12分22. （本小题满分10分）【选修45：不等式选讲】 已知函数f（x）=|2x+1|+|2x3| （I）求不等式f（x）6的解集； （）若奖于关的不等式f（x） |a1 |的解集非空，求实数的取值范围参考答案：解：（）原不等式等价于或解之得，即不等式的解集为.（5分）（），解此不等式得.（10分）