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吉林省长春市吉大中学高三数学文模拟试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 函数f(x)=sin(2x+)(|)的图象向左平移个单位后关于原点对称,则函数f(x)在0,上的最小值为()ABCD参考答案:A【考点】函数y=Asin(x+)的图象变换【专题】三角函数的图像与性质【分析】由函数图象的平移得到,再由函数为奇函数及的范围得到,求出的值,则函数解析式可求,再由x的范围求得函数f(x)在0,上的最小值【解答】解:函数f(x)=sin(2x+)图象向左平移个单位得,由于函数图象关于原点对称,函数为奇函数,又|,得,由于,02x,当,即x=0时,故选:A【点评】本题考查了函数y=Asin(x+)型函数的图象和性质,考查了三角函数值域的求法,是中档题2. 已知函数f(x)=sinxcosx(0),若方程f(x)=1在(0,)上有且只有四个实数根,则实数的取值范围为()A(,B(,C(,D(,参考答案:B【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】化简f(x)的解析式,作出f(x)的函数图象,利用三角函数的性质求出直线y=1与y=f(x)在(0,+)上的交点坐标,则介于第4和第5个交点横坐标之间【解答】解:f(x)=2sin(x),作出f(x)的函数图象如图所示:令2sin(x)=1得x=+2k,或x=+2k,x=+,或x=+,k?Z,设直线y=1与y=f(x)在(0,+)上从左到右的第4个交点为A,第5个交点为B,则xA=,xB=,方程f(x)=1在(0,)上有且只有四个实数根,xAxB,即,解得故选B3. 函数的图象大致是 ( )参考答案:D4. 已知O是坐标原点,点A(-1,1)若点M(x,y)为平面区域,上的一个动点,则的取值范围是( ) A-10 B01 C02 D-12参考答案:C5. 已知F是双曲线E:=1(a0,b0)的右焦点,过点F作E的一条渐近线的垂线,垂足为P,线段PF与E相交于点Q,记点Q到E的两条渐近线的距离之积为d2,若|FP|=2d,则该双曲线的离心率是()AB2C3D4参考答案:B【考点】双曲线的简单性质【分析】E上任意一点Q(x,y)到两条渐近线的距离之积为d1d2=d2,F(c,0)到渐近线bxay=0的距离为=b=2d,求出可求双曲线的离心率【解答】解:E上任意一点Q(x,y)到两条渐近线的距离之积为d1d2=d2,F(c,0)到渐近线bxay=0的距离为=b=2d,e=2,故选B6. 若过点的直线与圆有公共点,则直线斜率的取值范围为( )A B C D参考答案:C7. 等差数列an的前n项和为Sn,若a4,a10是方程的两根,则 ()A. 21B. 24C. 25D. 26参考答案:D【分析】根据一元二次方程中根与系数的关系,得到,再由等差数列的性质和前n项和公式,即可求解.【详解】因为是方程的两根,所以,又由,故选D.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质,以及前n项和公式的应用,其中解答中熟记等差数列的性质和前n项和公式,合理计算是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.8. 已知定义在上的函数,满足,且当时,若函数在上有唯一的零点,则实数的取值范围是( )A B C. D参考答案:D9. 函数的大致图像为 ( )参考答案:D略10. 已知集合P=x|x22x0,Q=x|1x2,则(?RP)Q=()A0,1)B(0,2C(1,2)D1,2参考答案:C【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合【分析】求出P中不等式的解集确定出P,求出P补集与Q的交集即可【解答】解:由P中不等式变形得:x(x2)0,解得:x0或x2,即P=(,02,+),?RP=(0,2),Q=(1,2,(?RP)Q=(1,2),故选:C【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 二项式的展开式中,所有项的二项式系数之和为,则常数项等于.参考答案:本题主要考查二项式定理.由题意可得2n=4096,则n=12.则通项,令得r=3,所以常数项为12. 各项都为正数的数列,其前项的和为,且,若, 参考答案:略13. 圆与双曲线的渐近线相切,则的值是 _. 参考答案:双曲线的渐近线为,不妨取,若直线与圆相切,则有圆心到直线的距离,即,所以。14. 函数的最小正周期为 ;单调递减区间为 参考答案:;略15. 各项为正数的无穷等比数列的前项和为,若, 则其公比的取值范围是 .参考答案:略16. 已知x,y满足,则z=2x+y的最大值为_。参考答案:答案: 3 17. 设向量,不平行,向量+与+2平行,则实数= 参考答案:【考点】平行向量与共线向量【专题】平面向量及应用【分析】利用向量平行即共线的条件,得到向量+与+2之间的关系,利用向量相等解答【解答】解:因为向量,不平行,向量+与+2平行,所以+=(+2),所以,解得;故答案为:【点评】本题考查了向量关系的充要条件:如果两个非0向量共线,那么存在唯一的参数,使得三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 已知函数,、.(1)若,且函数g(x)的图象是函数f(x)图象的一条切线,求实数a的值;(2)若不等式对任意恒成立,求实数m的取值范围;(3)若对任意实数a,函数在(0,+)上总有零点,求实数b的取值范围参考答案:(1)1;(2);(3)【分析】(1)由得出,由此得出,设切点为,由题意得出,可求出的值;(2)由参变量分离法得出,构造函数,利用导数分析得出,由此可得出实数的取值范围;(3)根据题意,对函数求导可得,对实数分和两种情况讨论,分析函数的单调性,结合零点存在定理可得出实数的取值范围.【详解】(1)由,得,设函数与函数相切于点,则,由题意可得,解得,因此,;(2)由题意得,恒成立令,则,再令,则,令,解得.故当时,函数单调递减;当时,函数单调递增,从而,函数在上有最小值,即有在上恒成立,所以,函数在上单调递增,故,所以.因此,实数的取值范围是;(3)由题意可得,其导数.当时,对任意的恒成立,则函数在上为增函数,若函数在上总有零点,则有,解得;当时,令,解得.当时,;当时,.所以,函数的单调递减区间为,单调递增区间为.则函数在处取得最小值,即.(i)当时,即当时,对任意的,则函数区间上单调递增,若函数在区间上恒有零点,则,解得;(ii)当时,即当时,若,则;若,则.则函数在上单调递减,在上单调递增.,可得.构造函数,其中,则,所以,函数在区间上单调递减,则,.综上所述,实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数分析函数的单调性和最值,同时也考查了函数的零点问题以及导数的几何意义,解题时注意导数与函数单调性之间的关系,考查分析问题和解决问题的能力,属于难题.19. 已知抛物线E:x2=4y,m、n是过点A(a,1)且倾斜角互补的两条直线,其中m与E有唯一公共点B,n与E相交于不同的两点C,D()求m的斜率k的取值范围;()是否存在常数,使得|AC|?|AD|=|AB|2?若存在,求的值;若不存在,说明理由参考答案:解:()设直线m:y+1=k(xa),n:y+1=k(xa),分别代入x2=4y,得x24kx+4ka+4=0(1),x2+4kx4ka+4=0(2),由1=0得k2ka1=0,由20得k2+ka10,故有2k220,得k21,即k1,或k1()假设存在常数,使得|AC|?|AD|=|AB|2,设B(x0,y0),C(x1,y1),D(x2,y2),则(y1+1)(y2+1)=(y0+1)2将y1+1=k(x1a),y2+1=k(x2a),y0+1=k(x0a)代入上式,得(x1a)(x2a)=(x0a)2,即x1x2a(x1+x2)+a2=(x0a)2由(2)得x1+x2=4k,x1x2=4ka+4,由(1)得x0=2k,代入上式,得4+a2=(4k24ka+a2)又1=0得k2ka1=0,即4k24ka=4,因此4+a2=(4+a2),=1故存在常数=1,使得|AC|?|AD|=|AB|2考点: 抛物线的简单性质专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程分析: ()设直线m:y+1=k(xa),n:y+1=k(xa),代入抛物线方程,运用判别式等于0和大于0,解不等式即可得到k的范围;()假设存在常数,使得|AC|?|AD|=|AB|2,设B(x0,y0),C(x1,y1),D(x2,y2),代入直线方程,由条件结合二次方程的韦达定理,再由判别式为0,即可判断解答: 解:()设直线m:y+1=k(xa),n:y+1=k(xa),分别代入x2=4y,得x24kx+4ka+4=0(1),x2+4kx4ka+4=0(2),由1=0得k2ka1=0,由20得k2+ka10,故有2k220,得k21,即k1,或k1()假设存在常数,使得|AC|?|AD|=|AB|2,设B(x0,y0),C(x1,y1),D(x2,y2),则(y1+1)(y2+1)=(y0+1)2将y1+1=k(x1a),y2+1=k(x2a),y0+1=k(x0a)代入上式,得(x1a)(x2a)=(x0a)2,即x1x2a(x1+x2)+a2=(x0a)2由(2)得x1+x2=4k,x1x2=4ka+4,由(1)得x0=2k,代入上式,得4+a2=(4k24ka+a2)又1=0得k2ka1=0,即4k24ka=4,因此4+a2=(4+a2),=1故存在常数=1,使得|AC|?|AD|=|AB|2点评: 本题考查抛物线的方程和
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