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2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。2 21.已知椭圆5 +/=1(。6 0)的左、右焦点分别为、F”过耳的直线交椭圆于A,B两点,交y轴于点M,若、M是 线 段 的 三 等 分 点,则椭圆的离心率为()A 1 n 石 r 2/5 n V5A.B.C.D.2 2 5 52.在棱长均相等的正三棱柱ABC=4 g G中,。为8月的中点,尸在AG上,且。尸,A 0,则下述结论:A G L 8 C;AF=F G;平面D 4G,平面A CG A:异面直线A 6与C。所成角为60。其中正确命题的3.已知定点A,8都在平面a内,定点P史,。是a内异于A 3的动点,且PC _L A C,那么动点C在平面a内的轨迹是()A.圆,但要去掉两个点 B.椭圆,但要去掉两个点C.双曲线,但要去掉两个点 D.抛物线,但要去掉两个点20204.著名的斐波那契数列 4,:1,1,2,3,5,8,,满足=出=1,。“+2=6用+%,eN”,若 为=Z%i,M=1贝(1人=()A.2020B.4038C.4039D.4040 x-y +40,5.若x,y满足约束条件 x 20)的焦点为尸,M J,%)为该抛物线上一点,以M为圆心的圆与C的准线相切于点A,Z A M F n O0,则抛物线方程为()A.y=2 xB.y=4xC.y=6xD./=8 x1 0 .已知双曲线G 三 一 马=1(o,6 0)的焦距为8,一条渐近线方程为y =J i x,则(7为()16 4848 161 1 .执行如图所示的程序框图,则输出的5=(7W2O19231 2 .已知数列 4的首项囚=。(。7 0),且 为+|=也+乙 其 中 攵,t e R,n e N ,下列叙述正确的是()A.若 4是等差数列,则一定有左=1 B.若 4是等比数列,则一定有r =OC.若 q不是等差数列,则一定有 k o i D.若 4不是等比数列,则一定有1*0二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共2 0分。1 3 .3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖.甲、乙两人同时各抽取1张奖券,两人都未抽得特等奖的概率是1 4 .若随机变量J的分布列如表所示,则 原4)=,。(纥-1)=.1 5.“石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏,其规则是:在石头、剪子和布中,二人各随机选出一种,若相同则平局;若不同,则石头克剪子,剪子克布,布克石头.甲、乙两人玩一次该游戏,则 甲 不 输 的 概 率 是.1 6.如图,在平行四边形A B C。中,A B =2,A D =1,则 前.而的值为.三、解答题:共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.(1 2分)如 图,三棱柱A B C A4G中,A A B C与 均 为 等 腰 直 角 三 角 形,Z R 4 C =N8 41c =9 0。,侧面BA44是菱形.(1)证明:平面平面4BC;(2)求二面角A BGC的余弦值.1 8.(1 2 分)如 图,在四棱锥PABCD中,底面 A B C。,A D L A B,A B/D C,A D =D C =A P =2,A B =1,点E为棱PC的中点.(1)证明:B E 1D C:(2)求直线与平面尸切所成角的正弦值;(3)若尸为棱PC上一点,满足3R_LAC,求二面角/一 A B P的余弦值.Y、/3 c c s ci,(a 为参数),以坐标原点为极点,以x轴正y =s i n a半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 2 的极坐标方程为夕s i n(6 +:)=2&.(I)写出G 的普通方程和C 2 的直角坐标方程;(2)设点P在 G 上,点。在上,求|P Q|的最小值以及此时P的直角坐标.2 0.(1 2 分)设 椭 圆 C:5+=。0)的左、右焦点分别为K,F2,下顶点为A,椭圆C的 离 心 率 是 日,4 4 打工的面积是6.(1)求椭圆C的标准方程.(2)直线/与椭圆C交于B,。两 点(异 于 A点),若直线AB与直线AO的斜率之和为1,证明:直线/恒过定点,并求出该定点的坐标.2 1.(1 2 分)已知抛物线。:尸=2 吠:(0)的焦点为尸,点 P(2,)(0)在抛物线C上,|P F|=3,直线/过点F,且与抛物线C交于A,B两点.(1)求抛物线C的方程及点P的坐标;(2)求 羽.丽 的 最 大 值 1x =、/6 c o s (y-是参数),以原点。为极点,工轴的正半y =s i n a轴为极轴建立极坐标系,直线/的极坐标方程为夕s i n (e -=夜.(1)求直线/与曲线C的普通方程,并求出直线的倾斜角;(2)记直线/与y轴的交点为。,M 是曲线C上的动点,求点M,。的最大距离.参考答案一、选择题:本题共1 2 小题,每小题5 分,共 6 0 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】根据题意,求得A M,8的坐标,根据点在椭圆上,点的坐标满足椭圆方程,即可求得结果.【详解】由已知可知,M点为A”中点,耳为期0中点,故可得/:+%=2XM=0,故可得x,=c;代入椭圆方程可得/二+4v2=1,解得y =b幺2,不妨取=b幺2,a b a a(b2故可得A点 的 坐 标 为c,I a),尸_ 1面4。6 4,平面OA G,平面A C GA,正确;以4为坐标原点,平面4 4 G上过4点垂直于4 G的直线为*轴,4 G所在的直线为了轴,4 A所在的直线为z轴,建立如图所示的直角坐标系;A(0,0,0),5,(V3,l,o),C,(0,2,0),4(0,0,2),C(0,2,2),D(V3,1,1);Aq=(0,2,-2),C D =(73,-1,-1);异面直线4 G与 8所成角为。,cos 6=ACCDAC;CD=0,故。=9 0 .不正确.本题考查命题的真假的判断,棱锥的结构特征,直线与平面垂直,直线与直线的位置关系的应用,考查空间想象能力以及逻辑推理能力.3.A【解析】根据题意可得AC _L 3 C,即知C在以A B为直径的圆上.【详解】,/P B A.a,A C u a,:.P B L A C,又PC_LAC,P B c P C =P,A C平面P B C,又B Cu平面P B CA C I B C,故C在以A B为直径的圆上,又C是a内异于A B的动点,所 以C的轨迹是圆,但要去掉两 个 点45故选:A【点睛】本题主要考查了线面垂直、线线垂直的判定,圆的性质,轨迹问题,属于中档题.4.D【解 析】计 算a,+a3=4,代 入等 式,根 据。“+2=%+i+4化简得到答案.【详 解】=1,。3=2 ,。4=3 ,故 4 +,202()“2-1=+。4039=%+/+。4039=4+“4039=。4040,故2=4 0 4().故选:D.【点 睛】本题考查了斐波那契数列,意在考查学生的计算能力和应用能力.5.A【解 析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的最值,判 断。的范围即可.【详 解】作出约束条件表示的可行域,如图所示.因为z =6+的最大值为2 a +6,所 以z =+),在 点4(2,6)处取得最大值,则 一a W 1,即。之一1.故选:A【点 睛】本题主要考查线性规划的应用,利 用z的几何意义,通过数形结合是解决本题的关键.6.C【解析】根 据 口 公+加卜忖+即两边平方|2+申=归+可,化简得2茄=一3(;,再利用数量积定义得到2 a b c o s (a,=-3 (a)求解.【详解】因 为 平 面 向 量 满 足 同=g,W=l,且N+q=|+4,所以|2 +田=归+田,所以2 5 =3(分,所以 2 a 5 c o s (a,5)=-3 (a),所以c o s(a,B)=-;,所以Z与B的夹角为2胃7r.故选:c【点睛】本题主要考查平面向量的模,向量的夹角和数量积运算,属于基础题.7.A【解析】由三视图知:几何体为三棱锥,且三棱锥的一条侧棱垂直于底面,结合直观图判断外接球球心的位置,求出半径,代入求得表面积公式计算.【详解】由三视图知:几何体为三棱锥,且三棱锥的一条侧棱垂直于底面,高为2,底面为等腰直角三角形,斜边长为2 0,如图:.AAB C的外接圆的圆心为斜边A C的中点。,0D 1 A C,且O 0U平面SAC,.S4=AC=2,.SC的中点。为外接球的球心,二 半 径R=#,夕卜接球表面积S=4 X3=12TT.故选:A【点 睛】本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积,根据三视图判断几何体的结构特征,利用几何体的结构特征与数据求得外接球的半径是解答本题的关键.8.C【解 析】从 21开始,输出的数是除以3 余 2,除以5 余 3,满足条件的是2 3,故选C.9.C【解 析】根据抛物线方程求得M点的坐标,根 据MA/X轴、NAMr=120。列方程,解 方 程 求 得。的值.【详 解】不 妨 设M在第一象限,由 于M在 抛物线上,所以由于以M为圆 心 的 圆 与C的准线相切于点A,根据抛物线的定义可知,|幽=画|、M 4/x轴,且.由于NAMb=120。,所 以 直 线ME的倾斜角a为 w,所 以 MF=tanl2(T=平=-6,解得=3,或p=?(由于:一故舍去).所以抛物线的方程-3 2 22 2为/=6x.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义,考查直线的斜率,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.1 0.A【解析】由题意求得C与2的值,结合隐含条件列式求得足,加,则答案可求.a【详解】由题意,2 c=8,则c=4,又2 =且。2+力2 =02,a解得。2 =4,5 2=1 2.2 2双曲线C的方程为土-2=1.4 1 2故选:A.【点睛】本题考查双曲线的简单性质,属于基础题.1 1.B【解析】运行程序,依次进行循环,结合判断框,可得输出值.【详解】起始阶段有i =l,S =3,第一次循环后5=工=-2,i =2,1-3 2c 1 2第二次循环后 1+1 3,1 =3,20 1 OS-=3第三次循环后 2 i =4,1-3第四次循环后S =-g,i =5,1-3 2所有后面的循环具有周期性,周期为3,当1 =2 01 9时,再次循环输出的S =3,i =2 02 0,此时2 02 0 2 0 1 9,循环结束,输出S =3,故选:B【点睛】本题主要考查程序框图的相关知识,经过几次循环找出规律是关键,属于基础题型.1 2.C【解析】根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可.【详解】A:当A=O,f =。时,an+l=a,显然符合 6,是等差数列,但是此时k=1不成立,故本说法不正确;B:当人=0 =a时,all+l=a,显然符合 a“是等比数列,但是此时/=0不成立,故本说法不正确;C:当=1时,因此有也+-%=/=常 数,因此 4 是等差数列,因此当 4 不是等差数列时,一定有 k H l,故本说法正确;D:当时,若 =()时,显然数列%是等比数列,故本说法不正确.故选:C【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的定义,考查了推理论证能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共2 0分。11 3.一3【解析】利用排列组合公式进行计算,再利用古典概型公式求出不是特等奖的两张的概率即可.【详解】解:3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖,甲、乙两人同时各抽取1张奖券,则两人同时抽取两张共有:C;&=6种排法排除特等奖外两人选两张共有:C;A;=2种排法.2 1故两人都未抽得特等奖的概率是:P=7=6 3故答案为:!【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用,是基础题.1 1 11 4.一 4 4【解析】首先求得a的值,然后利用均值的性质计算均
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