习题六6-1气体在平衡态时有何特征?气体的平衡态与力学中的平衡态有何不同？答：气体在平衡态时，系统与外界在宏观上无能量和物质的交换；系统的宏观性质不随时间变化.力学平衡态与热力学平衡态不同.当系统处于热平衡态时，组成系统的大量粒子仍在不停地、无规则地运动着，大量粒子运动的平均效果不变，这是一种动态平衡.而个别粒子所受合外力可以不为零.而力学平衡态时，物体保持静止或匀速直线运动，所受合外力为零.6-2气体动理论的研究对象是什么？理想气体的宏观模型和微观模型各如何？答：气体动理论的研究对象是大量微观粒子组成的系统.是从物质的微观结构和分子运动论出发，运用力学规律，通过统计平均的办法，求出热运动的宏观结果，再由实验确认的方法.从宏观看，在温度不太低，压强不大时，实际气体都可近似地当作理想气体来处理，压强越低，温度越高，这种近似的准确度越高.理想气体的微观模型是把分子看成弹性的自由运动的质点.6-3何谓微观量?何谓宏观量?它们之间有什么联系？答：用来描述个别微观粒子特征的物理量称为微观量.如微观粒子(原子、分子等)的大小、质量、速度、能量等.描述大量微观粒子(分子或原子)的集体的物理量叫宏观量，如实验中观测得到的气体体积、压强、温度、热容量等都是宏观量.气体宏观量是微观量统计平均的结果.6-4计算下列一组粒子平均速率和方均根速率？解：平均速率阳2 14682匕(m)1 0.02 0.03 0.04 0.05 0.02M21x10+4x20+6x30+8x40+2x5021+4+6+8+2890=21.741m-s方均根速率21xl02+4x202+6X103+8X402+2X50221+4+6+8+2=25.6 m-s-16-5速率分布函数/(v)的物理意义是什么?试说明下列各量的物理意义(”为分子数密度,N为系统总分子数).(1)/(v)d v(2)n f(v)dv(3)A (v)d v(4)J /(v)d v (5)/(v)d v (6)N f(v)dv解：/(v)：表示一定质量的气体，在温度为T的平衡态时，分布在速率v附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比.(1)/(v)d v ：表示分布在速率u附近，速率区间d u内的分子数占总分子数的百分比.(2)/-(v)d v：表示分布在速率u附近、速率区间小内的分子数密度.(3)7 V f(v)d v ：表示分布在速率v附近、速率区间外 内的分子数.(4)/(v)d v：表示分布在丹匕区间内的分子数占总分子数的百分比.(5)f/(v)d v：表示分布在。8的速率区间内所有分子，其与总分子数的比值是1.(6)N f(v)dv：表示分布在匕七区间内的分子数.6-6最概然速率的物理意义是什么？方均根速率、最概然速率和平均速率，它们各有何用处?答：气体分子速率分布曲线有个极大值，与这个极大值对应的速率叫做气体分子的最概然速率.物理意义是：对所有的相等速率区间而言，在含有益 的那个速率区间内的分子数占总分子数的百分比最大.分布函数的特征用最概然速率与 表示；讨论分子的平均平动动能用方均根速率，讨论平均自由程用平均速率.6-7容器中盛有温度为T的理想气体，试问该气体分子的平均速度是多少？为什么？答：该气体分子的平均速度为0 .在平衡态，由于分子不停地与其他分子及容器壁发生碰撞、其速度也不断地发生变化，分子具有各种可能的速度，而每个分子向各个方向运动的概率是相等的，沿各个方向运动的分子数也相同.从统计看气体分子的平均速度是0.6-8在同一温度下，不同气体分子的平均平动动能相等，就氢分子和氧分子比较，氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的速率一定比氧分子大，对吗？答：不对，平均平动动能相等是统计平均的结果.分子速率由于不停地发生碰撞而发生变化,分子具有各种可能的速率，因此，一些氢分子的速率比氧分子速率大，也有一些氢分子的速率比氧分子速率小.6-9如果盛有气体的容器相对某坐标系运动，容器内的分子速度相对这坐标系也增大了，温度也因此而升高吗？答：宏观量温度是一个统计概念，是大量分子无规则热运动的集体表现，是分子平均平动动能的量度，分子热运动是相对质心参照系的，平动动能是系统的内动能.温度与系统的整体运动无关.只有当系统的整体运动的动能转变成无规则热运动时，系统温度才会变化.6-1 0题6-1 0图(a)是氢和氧在同一温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条代表氢？题6-1 0图(b)是某种气体在不同温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条的温度较高？答：图(a)中(1)表示氧，(2)表示氢；图(b)中(2)温度高.题6 T 0图6-1 1温度概念的适用条件是什么?温度微观本质是什么？答：温度是大量分子无规则热运动的集体表现，是 个统计概念，对个别分子无意义.温度微观本质是分子平均平动动能的量度.6-1 2下列系统各有多少个自由度：(1)在一平面上滑动的粒子；(2)可以在一平面上滑动并可围绕垂直于平面的轴转动的硬币；(3)一弯成三角形的金属棒在空间自由运动.解：2,(2)3,(3)66-1 3试说明下列各量的物理意义.(1)-kT(2)-kT(3)-kT2 2 2(4)-RT(5)-RT(6)-RTM m”2 2 2解：(1)在平衡态下，分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由度上的能量均为L人T.23(2)在平衡态下，分子平均平动动能均为一A T.2(3)在平衡态下，自由度为i的分子平均总能量均为上A T .2(4)由质量为，摩尔质量为mH，自由度为i 的分子组成的系统的内能为lMV i 2mol 乙(5)1 摩尔自由度为i 的分子组成的系统内能为L R T.23(6)1 摩尔自由度为3的分子组成的系统的内能?RT,或者说热力学体系内，1 摩尔分子的2平均平动动能之总和为三3R T.26-1 4 有两种不同的理想气体，同压、同温而体积不等，试问下述各量是否相同？(1)分子数密度；(2)气体质量密度；(3)单位体枳内气体分子总平动动能；(4)单位体积内气体分子的总动能.解：(1)由 p =攵=-乙知分子数密度相同；kT(2)由 夕=丝=丝 皿 R知气体质量密度不同；V R T3(3)由三A T 知单位体积内气体分子总平动动能相同；2(4)由攵T知单位体积内气体分子的总动能不一定相同.26-1 5 何谓理想气体的内能?为什么理想气体的内能是温度的单值函数？解：在不涉及化学反应，核反应，电磁变化的情况下，内能是指分子的热运动能量和分子间相互作用势能之总和.对于理想气体不考虑分子间相互作用能量，质量为M 的理想气体的所有分子的热运动能量称为理想气体的内能.由于理想气体不计分子间相互作用力，内能仅为热运动能量之总和.即E=4 LRT是温度的单值函数.“m o l 26-1 6 如果氢和氢的摩尔数和温度相同，则下列各量是否相等，为什么？(1)分子的平均平动动能；(2)分子的平动动能；(3)内能.解：(1)相等，分子的平均平动动能都为2(2)不相等，因为氢分子的平均动能5?AT,氨分子的平均动能三3Z T.2 25 3(3)不相等，因 为 氢 分 子 的 内 能 氮 分 子 的 内 能。二RT.2 26-1 7 有一水银气压计，当水银柱为0.7 6 m高时，管顶离水银柱液面0.1 2 m,管的截面积为2.0 X 1 0 V,当有少量氮(H e)混入水银管内顶部，水银柱高下降为0.6 m,此时温度为2 7 ,试计算有多少质量氮气在管顶(H e 的摩尔质量为0.(M M kg-mol )?M解：由理想气体状态方程pV =“mHR T 得M=%。1I I I OI r j i汞的重度氨气的压强氨气的体积dHf,=1 3 3 x 1()5 N.m-3P=(0.7 6 0.6 0)x6V=(0.8 8 -0.6 0)x 2.0 x 1 0-4 m3(0.7 6-0.6 0)x JHx (0.2 8 x 2.0 x 1 0 )M=0.0 0 4 x-R(2 7 3+2 7)0 0 0 4(7 6 0 6 0)x6 x(0.2 8 x 2.0 x 1 0-4)8.3 1 x(2 7 3 +2 7)=1.91 x l0-6 K g6-1 8设有N个粒子的系统，其速率分布如题6-1 8图所示.求(1)分布函数/3)的表达式；(2)a与之间的关系;(3)速度在1.5%至I2.0%之间的粒子数.(4)粒子的平均速率.(5)0.5%到1 v0区间内粒子平均速率.解：(1)从图上可得分布函数表达式N f(v)av/vQ Nf(y)=aV(v)=0av/Nv0/(v)=a/N0(0 v v0)(v0 v 2 v0)(0 v v0)(v0 v 2 v0)/(v)满足归一化条件，但这里纵坐标是N/.W)而不是/)故曲线下的总面积为N,(2)由归一化条件可得2 av.,.2 NN d u +N adv=N a=-%4，0 3%(3)可通过面积计算&V =a(2%1.5%)=；N(4)N个粒子平均速率v =p v f(v)d v =5vNf(yAv=J -d v +j av d v(5)0.5%至i j 1%区间内粒子平均速率卡以叭匹第湍dnO.5 vo到1%区间内粒子数N i =-a+O.5 z)(vo-O.5 vo)=t z v0=2 o 4-21 7 V o6 N 96-1 9试计算理想气体分子热运动速率的大小介于力-力 1 0()7与+勺J O。-1之间的分子数占总分子数的百分比.解：令=上，则麦克斯韦速率分布函数可表示为%dNN4u2et,2 du因为 =1,A w =0.0 2由*5&得=xl xe-1 x 0.0 2 =1.6 6%N6-2 0容器中储有氧气，其压强为p=0.1 M Pa(即lat m)温度为2 7,求(1)单位体积中的分子；(2)氧分子的质量加；(3)气体密度夕；(4)分子间的平均距离e；(5)平均速率：；(6)方 均 根 速 率#;(7)分子的平均动能解：(1)由气体状态方程p=Z T得m(2)氧分子的质量=等=缁除=5.3 2 x 1。2 6 kg(3)由气体状态方程p V =“一 R T 得此Mma.p 0.0 3 2 x 0.1 x l.0 1 3 x l05 p=-2 5g=-=0.1 3R T 8.3 1 x 3 0 0(4)分子间的平均距离可近似计算kg廿e=-=,1=7.4 2 x I O-9 mV#2.4 5 x 1 ()2 4(5)平均速率(6)方均根速率m(7)分子的平均动能Z =U x 1.3 8 x 1 0-2 3 x 3 0 0 =1.0 4 x I O-2 0 J2 26-2 1 I mol氢气，在温度为2 7 时，它的平动动能、转动动能和内能各是多少？解：理想气体分子的能量E=v-R T23平动动能 t =3 E,=2 x 8.3 1 x 3 0 0 =3 7 3 9.5 J，22转动动能 =2 Er=-x 8.3 1 x 3 0 0 =2 4 93 Jr 2内能i =5 耳=9x 8.3 1 x 3 0 0 =6 2 3 2.5 J，26-2 2 瓶氧气，一瓶氢气，等压、等温，氧气体积是氢气的2倍，求(1)氧气和氢气分子数密度之比；(2)氧分子和氢分子的平均速率之比.解：(1)因为 p=n kT W JnH(2)由平均速率公式6-2 3 一真空管的真空度约为1.3 8 X 1 0 3 Pa(即 1.0 X 1 0$mmH g),试 求 在 2 7 时单位体积中的分子数及分子的平均自由程(设分子的有效直径d=3 X I O。m).解：由气体状态方程=演丁得=2=kT1.3 8 x 1 0-31.38X1023 X300=3.3 3 x 1 0”m由平均自由程公式2 =；=-=7.5 m岳 x 9x10-2 x 3.33x1()176-2 4 (1)求氮气在标准状态下的平均碰撞频率；(2)若温度不变，气压降到1.3 3 X1 0 Pa,平均碰撞频率又为多少(设分子有效直径1 0 m)?解：碰撞频率公式7 =血 血2”针对于理想气体有p =即n=PkTK G、5-也所 以