【高考领航】2017届高考数学大一轮复习第七章立体几何文北师大版第1课时空间几何体的结构及其三视图和直观图考纲点击 高考指数:1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会 用 斜：测画法画出它们的宜观图.3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.主 干 回 顾 夯 基 固 源 重温教材扫清盲点1.旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形矩形的一边所在的直线圆锥直角三角形直角三角形的条直角边所在的直线圆台直角梯形直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆半圆的直径所在的直线2.多面体的结构特征多面体结构特征棱柱有两个面互相平行,其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都互相平行.棱锥有一个面是多边形,而其余各面都是有一个公共顶点的三角形.棱台棱锥被平行于底面的平面所截，底面和截面之间的部分.3.直观图画直观图的方法叫斜二测画法，其画法的规则是：(1)在已知图形中建立直角坐标系x行,画直观图时，它 们 分 别 对 应/轴 和V轴，两轴交于点，使N x O 了=45,它们确定的平面表示水平平面.(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴 和 了 轴 的线段.(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变;平 行 于y轴的线段，长度为原来的一半.4.三视图(1)三视图的特点：主、俯视图长对正,主、左视图高平齐;俯、左视图宽相等,前后对应.(2)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线,在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出.教育精品学习资源 基础自测1.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展开.得到如 图 的 平 面 图 形.则 标 的 面 的 方 位 是（）A.南 B.北C.西 D.下解析：还原为正方体，依条件标出方位，结合展开图判定.答 案:B2.（教材改编题）无论怎么放置，其三视图完全相同的几何体是（）A.正方体 B.长方体C.圆锥 D.球解析：只有球无论怎样放置，其三视图完全相同.答案：D3.水平放置的 49G有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形4 B C,则 胸 是（）A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.任意三角形解析：如图，x O y 还 原 为 时，/o cNC A B 还原为N O A大于90 .答案：C4.一个几何体的正视图为一个三角形，则 这 个 几 何 体 可 能 是 下 列 几 何 体 中 的.（填入所有可能的几何体前的编号）三 棱 锥 四 棱 锥 三 棱 柱 四 棱 柱 圆 锥 圆 柱解析：三棱锥、四棱锥和圆锥的正视图都是三角形，当三棱柱的一个侧面平行于水平面，底面对着观测者时其正视图是三角形，其余的正视图均不是三角形.答案：5.给出下列四个命题：直角三角形绕一条边旋转得到的旋转体是圆锥：夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体；圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台：通过圆台侧面上一点，有无数条母线.教育精品学习资源教育精品学习资源其中正确命题的序号是.解析:错误，应为直角三角形绕其一条直角边旋转得到的旋转体是圆锥;若绕其斜边旋转得到的是两个圆锥构成的一个几何体，如图（1）.错误，没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则结论是错误的，如图（2）.正确，如图（3）.错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，如图（4）.答案：大 一 轮 复 习BSD数学（文）第七章 立体几何考 点 研 析 题 组 冲 关核 心 考 点 深 化 突 破考点一空间几何体的结构特征 例1下列结论中正确的是（）A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线审题视点根据常见几何体的结构特征，借助常见的几何模型进行判断.解 析 当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故A错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，B错误；若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，则棱长必然要大于底面边长，故C错误.答 案DI方法总结I要明确柱体、锥体、台体和球的结构特征，认识和把握几何体的结构特征是认识空间几何体的基础和关键：对于几何体的结构特征要从其反映的几何体的本质去把握，有利于从中找到解题的突破点.题组冲关强化训练提升考能1.给出下列四个命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线;底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是（）教育精品学习资源教育精品学习资源A.0B.1C.2D.3解析：不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；正确；错误.当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥.如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.答案：B2.（2 0 1 6 商洛调研）设有以下四个命题：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；底面是矩形的平行六面体是长方体；直四棱柱是直平行六面体；棱台的相对侧棱延长后必交于一点.其 中 真 命 题 的 序 号 是.解析：命题符合平行六面体的定义，故命题是正确的.底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题是错误的.因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题是错误的.命题由棱台的定义知是正确的.答案：教育精品学习资源教育精品学习资源考点二几何体的三视图 例2（2014 高考江西卷）一儿何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是（）审题视点根据三视图的概念，直接观察求解即可.解析该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选B.答 案BI方法总结I画三视图时，应牢记其要求的“长对正、高平齐、宽相等”，注意虚、实线的区别，同时应熟悉一些常见几何体的三视图.解决由三视图相象几何体，进而进行有关计算的题目，关键是准确把握三视图和几何体之间的关系.题组冲关1.（2016 山西康杰中学模拟）已知某锥体的正视图和侧视图如图所示，其 体 积 为 竽，则该锥体的俯视图可能是（）解析：由正视图得该锥体的高是力=亚7=#,因为该锥体的体积为平，所以该锥体的底面面积是教育精品学习资源教育精品学习资源2 3 2 7 33 35=-?=2,A项的正方形的面积是2 X 2 =4,L力 亚3 3B项的圆的面积是n X 1 2=j r,C项的大三角形的面积是 X 2 X 2 =2,D项不可能是该锥体的俯视图，故选C.答案：C2.正视图俯视图在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）小R A AABCD解析:由正视图和俯视图可以推测几何体为半圆锥和三棱锥的组合体（如图所示），且顶点在底面的射影恰是底面半圆的圆心，可知侧视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，故选D.答案：D 考点三几何体的直观图 例3 已知正三角形力%的边长为，那么 回 的平面直观图 4夕C的面积为（）A.B.坐 才C.才 D,o1 0审题视点 画 出 正 三 角 形 的 平 面 直 观 图 /B C,求 B C的高即可.教育精品学习资源教育精品学习资源解 析 如 图 所 示，正三角形力%的实际图形和直观图.由图可知，A B =AB=a,O C 在直观图中作C D 1A 4于 ，则D=乎 少C=乎,S d#If cf f C D =*aX 尊1=专/乙O 10答 案DI方法总结I直观图的斜二测画法的关键之处在于将图中的关键点转化为坐标系中的水平方向与垂直方向的坐标长度，然后运用“水平长不变，垂直长减半”的方法确定出点，最后连线即得直观图.注意被遮挡的部分画成虚线.题组冲关强化训练提升考能1.（2016 长沙模拟）如图，一平面图形的直观图是一个等腰 梯 形 且 该 梯 形 的 面 积 为 电，则原图形的面积为（）A.2B.木C.2 mD.4解析：由斜二测画法知原图形仍为梯形，上、下两底长度不变，高为直观图中梯形高的七倍，故原图形的面积为地古=虫答案：D2.等腰梯形4比 仇 上 底gl,腰*，下底4?=3,以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图B C D 的面积为.解析：，：0 E=7 木=i n,/.o e ,e 尸=乎，2 4直观图4 B C 的面积为教育精品学习资源教育精品学习资源f =x(i+3)x 乎邛答案：乎素 能 提 升 学 科 培 优提 高 技 能 特 色 展 示易错警示系列12因三视图识图不准致误 典例 某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是4正（主）视图他（左）视图俯视图解题指南将三视图还原为直观图求解；表面积包括哪些部分.解析由几何体的三视图可知，该几何体是底面为宜角梯形的宜四棱柱（如图所示）.在四边形4?中，作 DEL4 B,垂足为区 则应=4,至=3,则 4?=5.所以其表面积为：2 xgx(2+5)X4+2X4+4X5+4X5+4X4=92.答 案 92易错分析A由三视图还原空间几何体形状时出错，误把/看成主视图中的两段线段长度相加.备考建议A解决三视图与几何体间的转化问题时，还有以下几点在备考时要高度关注:（1）画三视图时对个别的视图表达不准确，不能正确地画出所要求的视图;（2）对三视图中实虚线的含义不明确或画三视图时不能用虚线表示看不到的轮廓线.在复习时要明确三个视图各自的含义，还原空间几何体实际形状时一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考查.指点迷津展示40 画空间几何体的三视图的两个步骤教育精品学习资源教育精品学习资源第一步，确定三个视图的形状：第二步，将这三个视图摆放在平面上.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”.三视图与空间儿何体中的儿何量的关系空间几何体的数量关系也体现在三视图中，主视图和左视图的“高平齐”，主视图和俯视图的“长对正”，左视图和俯视图的“宽相等”.其中，主视图、左视图的高就是空间几何体的高，主视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，左视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度.要尽量按照这个规则画空间几何体的三视图.课时规范训练 A级基础演练1 .以下四个命题：正棱锥的所有侧棱相等；直棱柱的侧面都是全等的矩形；圆柱的母线垂直于底面；用经过旋转轴的平面截圆锥,所得的截面一定是全等的等腰三角形.其中，真命题的个数为（）A.4B.3C.2D.1解析：由正棱锥的定义可知所有侧棱相等，故正确；由于直棱柱的底面不一定是正多边形，故侧面矩形不一定全等，因此不正确；由圆柱母线的定义可知正确；结合圆锥轴截面的作法可知正确.综上，正确的命题有3个.答 案:B2.（2 0 1 4 高考福建卷）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A.圆柱 B.圆锥C.四面体 D.三棱柱解析：由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱（放倒看）都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形，故选A.答案：A3.（2 0 1 6 开封摸底）一个正四棱锥的所有棱长均为2,其俯视图如图所示，则该正四棱锥的正视图的面积为（）俯视图A.小 B.小C.2D.4解析：由题知，所求正视图是底边长为2,腰长为小的等腰三角形，