人教版 数学必修 4 第三章 三角恒等变换 课题：两角差的余弦公式课题：两角差的余弦公式 湖南师大附中 吴菲 三维目标三维目标：知识目标知识目标：通过让学生猜想、探索、发现并推导“两角差的余弦公式”；了解单角与复角的三角函数之间的内在联系；通过变式训练，加深对两角差的余弦公式的理解；培养学生的运算能力及逻辑推理能力，提高学生的数学素质。能力目标能力目标：运用两角差的余弦公式，会进行简单的求值、化简、证明；体会化归、数形结合等数学思想在数学当中的运用，使学生树立联系与转化的辨证唯物主义观点，提高学生分析问题、解决问题的能力。情感目标情感目标：本节课通过创设问题情景，使学生体验科学探索的过程，感受科学探索的乐趣，激励科学探索的勇气，培养学生的创新精神和良好的团队合作意识。重点难点重点难点：教学重点教学重点：通过探究得到两角差的余弦公式 教学难点教学难点：探索过程的组织和适当引导。教学过程教学过程：一、一、走入生活走入生活 引入：同学们，在第一章我们学习了同角三角函数式的变换，今天我们将一起探究一种包含两个角的三角函数式的变换：两角差的余弦公式。先让我们走入生活，看一个例子：例：如图所示,一个斜坡的高为 6m,斜坡的水平长度为 8m,已知作用在物体上的力 F 与水平方向的夹角为 60,且大小为 10N,在力 F 的作用下物体沿斜坡运动了m,求力 F 作用在物体上的功 W 解：W=)60cos(SFSF =30)60cos(提问：1、解决问题需要求什么?2、你能找到哪些与有关的条件?3、能否利用这些条件求出)60cos(？如果能，提出你的猜想 4、怎样检验这些猜想是否正确？生 活 实 例引入，体现数学与实际生活的联系，增强学生的应用意识，激发学生的学习热情，同时也让学生体会数学知识的产生、发展过程 F S 6m 8m 开公开课备亮点找素材尽在高中数学公开课优质课信息融合课QQ群865257936人教版 数学必修 4 第三章 三角恒等变换 二、合作探讨二、合作探讨 从特殊情况去猜测公式的结构形式 令cos)cos()cos(,则：令sin)2cos()cos(,2则：分析：可见，我们的公式的形式应该与sinsincoscos和均有关系？他们之间存在怎样的代数关系呢？会不会是“”、“”、“”、“”？请同学们根据下表中数据，相互交流讨论，提出你的猜想 用具体值检验猜想的合理性 令30,120则90cos)30120cos()cos(0三角函数 120cos30cos120sin30sin 三角函数值 21 23 23 21 学生再举特例进行验证（各抒己见）利用几何画板，对更多的情况加以验证。三、提出猜想三、提出猜想：sinsincoscos)cos(师：要让猜想更有说服力，我们还要进行理论证明 四、理论证明四、理论证明：引导探究：研究三角函数问题，我们常用的一种方法就是利用单位圆，在单位圆中，角的余弦值可用余弦线来表示 我们先来讨论最简单的情况：、为锐角，且 方法一：（利用三角函数线）证明：在单位圆O中，作 OXP1，交单位圆于点，作1P1POP，则XOP过点P作PM垂直x 轴于M，AOPPA于点1，过点，过点B点OMABA于点作CABPCP于点，作，则：鼓 励 学 生发挥想象力，大胆猜测，然后再去验证其合理性，增强学 生 探 索 问题、挑战困难的勇气 依 据 特 殊情况进行猜想往往是人们探索问题的第一步 鼓 励 学 生对各种可能的情 况 进 行 探索，培养他们的交流合作意识，在探索的过程中获得成就感 引 导 学 生运用数形结合的思想给出证明 1OBMxyPP1 AC1cossin人教版 数学必修 4 第三章 三角恒等变换 cosOA，sinAP，且OXPPAC1 sinsincoscossincosAPOACPOBBMOBOM sinsincoscos)cos(（、为锐角，且）方法小结：在整个证明过程中，我们通过几何的手段，得到了一个代数公式，这运用到了在数学探究过程中一种重要的思想方法：数形结合 提问：当、取任意角的时候，结果又会怎样呢？（展示下一张幻灯片），大家思考一下（给学生思考的时间，要求学生说出自己的思考结果若学生说出来要给予及时的肯定，若没能说出则作为课后思考作业）方法二：（利用向量）启发思考：我们来仔细观察猜想的结构，等式的左边是差角的余弦，我们在什么地方见到过类似结构？（引导学生发现，提出证明方法）（学生：向量的数量积！）证明：在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角、，它们终边与单位圆O的交点分别为A、B，则：OA=)sin,(cos，OB=)sin,(cos)sin,)(cossin,(cos|)cos(OBOAOBOA =sinsincoscos)cos(=sinsincoscos （0）方法小结：对比一下两种证明方法，你认为哪种更简单？向量在我们数学探究过程中是一种非常简洁有效的工具，在今后的学习中我们还将继续领悟向量在数学探究过程中的魅力！加 强 新 旧知识的联系 使 学 生 从直观角度加强对差角公式结构 形 式 的 认识 让 学 生 经历用向量知识解出一个数学问题的过程，体会向量方法的作用 y1B)sin,(cos)sin,(cos-1-11Ax 0人教版 数学必修 4 第三章 三角恒等变换 思考：1、作为两向量的夹角，有没有限制条件？2、如果不在，这个区间内，我们的结论还会成立吗？怎样给出证明？（展示幻灯片，引导学生找到与夹角之间的关系）推广完善：令为OA、OB 的夹角，当,0时，则 sinsincoscoscos)cos(当,0时，则存在，使得、Zmk mk22或 无论哪种情况，都有cos)cos(sinsincoscoscos)cos(即 小结：两角差的余弦公式：sinsincoscos)cos(（其中、为任意角，简记为）)(C思考：请同学们仔细观察一下公式的结构，说说公式的结构有什么特点？应怎样记忆？（对学生的回答给予及时肯定）五、知识运用五、知识运用 1、解决引例中的问题 2、学以致用：已知,135cos),2(,54sin是第三象限角，求)cos(（运用公式时应根据角的范围，正确确定两角正、余弦值的范围）3、公式的逆用：的值求15sin2315cos21 4、拓广延伸：已知,135cos),0(,54sin是第三象限角，求)cos(（此题根据学生的接受情况，作为后备练习）统一对“恒等”要求的认识 运 用 分 类讨论思想 要 求 学 生对公式的形式加以分析，体会数学中的对称美 1、学生运用所学解决实际问题 2、利用变式突破学生在运用公式过程中的易错点 3、对逆用公式解题加深认识。4、活用公人教版 数学必修 4 第三章 三角恒等变换 5、公式活用：cos20,1411)cos(,71cos），求，（、且（此题根据学生的接受情况，作为后备练习）六、回顾总结六、回顾总结 师：我们一起来回顾总结一下今天这节课的收获 1、公式探究的一般步骤：特殊猜想证明 2、在运用两角差的余弦公式时应注意：（1）根据角的范围，确定两角正、余弦值的正、负（2）适当逆用公式，可达到化简计算的目的（3）灵活选取两角的形式，活用公式 七、七、课后思考课后思考 适当变换两角差的余弦公式中两角的形式，例如取，你能得到哪些结论？八、作业：八、作业：必做：P104 2、3、4 选做：式，加深学生对公式中两角形式变化的认识，强化整体思想 课 后 思 考为下节课做铺垫 )cos(coscos,53sinsin求,54人教版 数学必修 4 第三章 三角恒等变换 课题：两角差的余弦公式课题：两角差的余弦公式 湖南师大附中 吴菲 三维目标三维目标：知识目标知识目标：通过让学生猜想、探索、发现并推导“两角差的余弦公式”；了解单角与复角的三角函数之间的内在联系；通过变式训练，加深对两角差的余弦公式的理解；培养学生的运算能力及逻辑推理能力，提高学生的数学素质。能力目标能力目标：运用两角差的余弦公式，会进行简单的求值、化简、证明；体会化归、数形结合等数学思想在数学当中的运用，使学生树立联系与转化的辨证唯物主义观点，提高学生分析问题、解决问题的能力。情感目标情感目标：本节课通过创设问题情景，使学生体验科学探索的过程，感受科学探索的乐趣，激励科学探索的勇气，培养学生的创新精神和良好的团队合作意识。重点难点重点难点：教学重点教学重点：通过探究得到两角差的余弦公式 教学难点教学难点：探索过程的组织和适当引导。教学过程教学过程：一、走入生活一、走入生活 引入：同学们，在第一章我们学习了同角三角函数式的变换，今天我们将一起探究一种包含两个角的三角函数式的变换：两角差的余弦公式。先让我们走入生活，看一个例子：例：如图所示,一个斜坡的高为 6m,斜坡的水平长度为 8m,已知作用在物体上的力 F 与水平方向的夹角为 60,且大小为 10N,在力 F 的作用下物体沿斜坡运动了m,求力 F 作用在物体上的功 W 解：W=)60cos(SFSF =30)60cos(提问：1、解决问题需要求什么?2、你能找到哪些与有关的条件?3、能否利用这些条件求出)60cos(？如果能，提出你的猜想 4、怎样检验这些猜想是否正确？生 活 实 例引入，体现数学与实际生活的联系，增强学生的应用意识，激发学生的学习热情，同时也让学生体会数学知识的产生、发展过程 F S 6m 8m 人教版 数学必修 4 第三章 三角恒等变换 二、合作探讨二、合作探讨 从特殊情况去猜测公式的结构形式 令cos)cos()cos(,则：令sin)2cos()cos(,2则：分析：可见，我们的公式的形式应该与sinsincoscos和均有关系？他们之间存在怎样的代数关系呢？会不会是“”、“”、“”、“”？请同学们根据下表中数据，相互交流讨论，提出你的猜想 用具体值检验猜想的合理性 令30,120则90cos)30120cos()cos(0三角函数 120cos30cos120sin30sin 三角函数值 21 23 23 21 学生再举特例进行验证（各抒己见）利用几何画板，对更多的情况加以验证。三、提出猜想三、提出猜想：sinsincoscos)cos(师：要让猜想更有说服力，我们还要进行理论证明 四、理论证明四、理论证明：引导探究：研究三角函数问题，我们常用的一种方法就是利用单位圆，在单位圆中，角的余弦值可用余弦线来表示 我们先来讨论最简单的情况：、为锐角，且 方法一：（利用三角函数线）证明：在单位圆O中，作 OXP1，交单位圆于点，作1P1POP，则XOP过点P作PM垂直x 轴于M，AOPPA于点1，过点，过点B点OMABA于点作CABPCP于点，作，则：鼓 励 学 生发挥想象力，大胆猜测，然后再去验证其合理性，增强学 生 探 索 问题、挑战困难的勇气 依 据 特 殊情况进行猜想往往是人们探索问题的第一步 鼓 励 学 生对各种可能的情 况 进 行 探索，培养他们的交流合作意识，在探索的过程中获得成就感 引 导 学 生运用数形结合的思想给出证明 1OBMxyPP1 AC1cossin人教版 数学必修 4 第三章 三角恒等变换 cosOA，sinAP，且OXPPAC1 sinsincoscossincosAPOACPOBBMOBOM sinsincoscos)cos(（、为锐角，且）方法小结：在整个证明过程中，我们通过几何的手段，得到了一个代数公式，这运用到了在数学探究过程中一种重要的思想方法：数形结合 提问：当、取任意角的时候，结果又会怎样呢？（展示下一张幻灯片），大家思考一下（给学生思考的时间，要求学生说出自己的思考结果若学生说出来要给予及时的肯定，若没能说出则作为课后思考作业）方法二：（利用向量）启发思考：我们来仔细观察猜想的结构，等式的左边是差角的余弦，我们在什么地方见到过类似结构？（引导学生发现，提出证明方法）（学生：向量的数量积！）证明：在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角、，它们终边与单位圆O的交点分别为A、B，则：OA=)sin,(cos，OB=)sin,(cos)s