2 永磁同步电机的公式推导2.1 永磁同步电机的能量转换过程推导永磁同步电机电压平衡方程：ddd()ddduRitLiiLRiRiLittt（2-1）其中，为转子机械角位移，为转子机械角速度，电机稳定运行时为t常数，即。则有const ddiLuRiLit（2-2）其中，为电阻压降，表示感应电动势，成为运动电动势。RiddiLtLEi转矩平衡方程：22ddmmecJRmecTTTTdTJRdtt（2-3）其中，为电机电磁转矩，为输出机械转矩，为惯性转矩，mTmecT22JdTJdt为阻力转矩；理想情况下，电机阻力力矩近似为常数，稳定运行时机ddRTRt械加速度为零，所以输出的机械转矩，由于电机阻力力矩近似为常mecmRTTT数，电磁功率可近似看作输出机械功率。磁能的表达式：1112nnmmjjk kjkWWi L i（2-4）由磁能与电磁转矩之间的关系，则：mmWT d111122nnjkmmjktjkLWLTiiii（2-5）其中， 表示电流矩阵的转置。ti则电磁功率为：1122mmttLPTiii E （2-6）由公式两边同时乘以 ，则：tidd1d12d2ttttttttiiui Rii Li Etii Rii Ei Li Et（2-7）由式（2.7）可知，等式左边为电机输入功率；等式右边为电阻损耗tiuti Ri功率，是电磁功率，即电功率转换成机械功率输出的那一部分，表明从电12ti E磁耦合场中获得的一半能量转换成了机械能输出；是输入功率除去d1d2ttii Li Et输出的和内阻损耗功率之后的功率，即为磁场功率。稳态运行时，一个周期内磁场功率应为零，即一个周期内磁场转化的功率与释放的功率相同。2.2 坐标变换（1）变换（Clark 变换）0abcdq设三相绕组和两相绕组每相的绕组匝数分别为 N1，N2，将两组磁动势分别投影到轴和轴上：121211()2233()22abcbcN iN iiiN iNii（2-8）前后保持功率不变，可进一步推倒出此时，所以，三相静止坐标系2123NN到两相静止坐标系（3s/2s）的“等功率”变换矩阵为：3 /2111222333022ssC（2）变换（Park 变换）0dq同样遵照磁效应等效原则，同一时刻、同一方向上的瞬时磁动势相等，再由功率不变原则得出变换前后各绕组的有效匝数不变， 因此可以直接由电流矢量表示合成磁动势。将磁动势投影到正交的 轴、 轴上，由三角关系易得：cossinsincosdqdqiiiiii（2-9）两相静止坐标系到两相旋转坐标系（2s/2r） 的“等功率”变换矩阵为：2 /2cossinsincossrC（3）变换0abcdq考虑零序电流得013abciiii 3 /20daqsrbciiiCiii （2-10）则有， 2 /22 /23 /23 /200daaqsrsrssbsrbcciiiiiCiCCiCiiiii （2-11）通过计算可以得出变换矩阵：0abcdq3 /2coscos(120 )cos(120 )2sinsin(120 )sin(120 )3222222srC2.3 旋转坐标系下动态方程（1） 电压方程根据坐标变换，并考虑： 0= t （2-12） D（2-13）可以得到 d0cossinaquuuu（2-14）aaauDRi（2-15）d0cossinaq（2-16）d0cossinaqiiii（2-17）ddd00cossinaqqquDRiDRiDRi（2-18）定子电压方程dddquDRi（2-19）dqqquDRi（2-20）000uDRi（2-21）转子电压方程FFF FuDR i（2-22）DDD DuDR i（2-23）QQQ QuDR i（2-24）（2）磁链方程轴上绕组：绕组，阻尼绕组，励磁绕组。ddDF轴上绕组：绕组，励磁绕组。qqQ在绕组通三相电流，在绕组中的磁链abcdddcoscos120cos120aaaabcLiii （2-25）其中，为绕组和相绕组重合时的互感daaLda在绕组通电流，在绕组中的磁链dqdiqiddd dd2coscos120cos1203aaaabcL iLiii （2-26）其中，为直轴电枢反应电感daL令绕组与绕组等效，则dqabcdd23aaaLL（2-27）同理23aqqaqLL（2-28）轴主磁链dqdd dmaaF FaD DL iMiMimqaq qaQ QL iMi（2-29）轴总磁链dqqmqqL idddmL i（2-30）其中，为定子交直轴的漏感L若，为定子绕组漏自感和漏互感，则总漏感和零序电感为aaLMaaLLM02aaLLM（2-31）由交直轴磁链得到交直轴同步电感ddaLLLqaqLLL（2-32）定子系统的磁链d 0qdd daF FaD DL iMiMi（2-33）qq qaQ QL iMi（2-34）00 0L i（2-35）励磁绕组的磁链Fcoscos120cos120FaFabcF FFD DMiiiL iMi 32FaF dF FFD DMiL iMi（2-36）直轴阻尼绕组的磁链D32DaD dD DFD FMiL iMi（2-37）交轴阻尼绕组的磁链Q32QaQ qQ QMiL i（2-38）（3）转矩方程同步电动机输入总功率d 0d 0d 0a ab bc cabcabcqabcqtqtttPu iu iu iuicuiuc ci（2-39）cossin1cos120sin1201cos120sin1201c由于32323tc c所以d d0 033322q qPu iu iu i（2-40）变换为磁势不变，而非功率不变，系数不为 1。展开得到22d2dd00dd03332222qqqqqPi Di Di DiiR iii（2-41）dd32mmmqqPPTpiip（2-42）2.4 拉格朗日运动方程确定电机的动力变量，广义损耗系数，以应外来广义驱动力，列表如下：表 3.1 在广义坐标和广义速度下的系数定子绕组d1K 定子绕组q2K 转子绕组d3K 转子绕组q4K 机械转子5K kqdsqqsqdrqqrqkq dsiqsidriqrikRdsRqsRdrRqrRRkQ dsVt qsVt00mecT假设系统为线性的 2222222212122211112222qrqrmj kjkj ds k dsdssqssdrrqrrds drmqr qsmdssqssdrrqrrds drmqr qsmWi i Li Li Li Li Li i Li i Li Li Li Li Li i Li i L（2-43）由，可得212mecFR222211112222eds dsqs qsdr drqr qrFR iR iR iR i 222221111122222emecds dsqs qsdr drqr qrFFFR iR iR iR iR（2-44）拉格朗日函数为=0mmemmeWTV WTVL（2-45）其中，。212meTJd0dkkkFtqqqLL（2-46）根据式（3.23） ，同步电机运动方程的推导如下：当时1K dds dsm drds dsdsL iL iR iVtt（2-47）则定子绕组轴的电压方程为：d dddddsdrsmds dsdsiiLLR iVttt（2-48）当时2K dds qsm qrqs qsqsL iL iR iVtt（2-49）则定子绕组轴的电压方程为：q ddddqsqrsmqs qsqsiiLLR iVttt（2-50）当时3K d0dr drm dsdr drL iL iR it（2-51）则转子绕组轴的电压方程为：ddd0dddrdsrmdr driiLLR itt（2-52）当时4K 同理可得，转子绕组轴的电压方程为：qdd0ddqrqsrmqr qriiLLR itt（2-53）当时5K ddmecJRTt （2-54）则力平衡方程为ddmecJRTt （2-55）综上所述，式（2-46） 、 （2-50） 、 （2-51） 、 （2-52） 、 （2-56）合起来就是永磁同步电机的运动方程。