第九章第九章第九章第九章交变电磁场问题的解法交变电磁场问题的解法及典型例题及典型例题及典型例题及典型例题景建恩景建恩景建恩景建恩E-mail： Office: 教5楼118AE-mail： Office: 教5楼118A2012年12月北京2012年12月北京章节安排章节安排9.1 直角坐标系中赫姆霍兹方程的解直角坐标系中赫姆霍兹方程的解9.2 柱坐标系中赫姆霍兹方程的解柱坐标系中赫姆霍兹方程的解9.3 球坐标系中赫姆霍兹方程的解球坐标系中赫姆霍兹方程的解9.4 推迟势的直接积分法推迟势的直接积分法9 1 直角坐标系中赫姆霍兹方程的解直角坐标系中赫姆霍兹方程的解9.1 直角坐标系中赫姆霍兹方程的解直角坐标系中赫姆霍兹方程的解求解电磁场问题的一个选择求解电磁场问题的一个选择是求解的赫姆霍兹方程。本章讨论赫姆霍兹方程在各种坐标系中的解。是求解的赫姆霍兹方程。本章讨论赫姆霍兹方程在各种坐标系中的解。或A下面讨论直角坐标系中赫姆霍兹方程的解。下面讨论直角坐标系中赫姆霍兹方程的解。022+AkA?A所满足的赫姆霍兹方程所满足的赫姆霍兹方程它在直角坐标系中表示为它在直角坐标系中表示为0=+AkA02222222=+AkAyAxA?在直角坐标系中，单位矢量在空间中各点有相同的方在直角坐标系中，单位矢量在空间中各点有相同的方向向此此的任直角分量都满足赫姆霍兹方程的任直角分量都满足赫姆霍兹方程zyxzyxe、e、e向向，因因此此的任的任一一直角分量都满足赫姆霍兹方程直角分量都满足赫姆霍兹方程。A设设U(x,y,z为为A的任意直角分量的任意直角分量，则有则有022=+UkU设设U(x,y,z为为A的任意直角分量的任意直角分量，则有则有设设U(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)，将其代入上式中并除以将其代入上式中并除以XYZ，就可将，就可将其分离成三个常微分方程其分离成三个常微分方程其分离成三个常微分方程其分离成三个常微分方程2Xd02222=+YdXkxdXdx0222=+ZdYkydYdy0222=+ZkzdZdz它的解分别是它的解分别是xkDxkCXxxsincos11+=zkDzkCZykDykCYzzyysincossincos3322+=+=zz33于是得到于是得到U(x,y,z)的通解为的通解为) 11 . 9 ()sincos)(sincos)(sincos(),(332211+=zkDzkCykDykCxkDxkCzyxUzzyyxx例题例题 矩形波导中的电磁波矩形波导中的电磁波例题例题 矩形波导中的电磁波矩形波导中的电磁波解：如图解：如图9.1-1所示。一矩形波导，其中两个面在所示。一矩形波导，其中两个面在x=0和和x=a处，另两个在处，另两个在y=0和和y=b处，处，z轴沿电磁波方向轴沿电磁波方向。z轴沿电磁波方向轴沿电磁波方向。在一定频率下，管内电磁波的电场强度满足赫姆霍兹方程，即在一定频率下，管内电磁波的电场强度满足赫姆霍兹方程，即022EkE(9 1 2)022=+EkE(9.1-2)并满足边界条件并满足边界条件)0(00EEE), 0(0, 0), 0(0, 0byyEEEaxxEEzxzy=y由于电磁波沿由于电磁波沿z轴方向传播，轴方向传播，E可写成可写成xikzeyxEzyxE),(),(=yy),(),(将它代入将它代入(9.1-2)式中，得式中，得0)(2222+EkkEE(9 1 3)0)(22=+Ekkyxz(9.1-3)用用分离变量法分离变量法，设，设Ez为电磁场的为电磁场的z分量，它满足方程分量，它满足方程(9.1-3)中的中的z分量方程，分量方程，z()并可写成并可写成zikzzzeyxEzyxE),(),(=(9.1-4)设设Ez(x,y)=X(x)Y(y),将其代入将其代入(9.1-3)式的式的z分量方程中，并分离成两个常微分方程分量方程中，并分离成两个常微分方程2Xd0022222=+=+YkYdXkdxXdx02=+Ykdyy解得解得X、Y并代入并代入(9.1-4)式中，得式中，得Ez(x,y,z)的通解为的通解为zikyyxxzzeykDykCxkDxkCzyxE)sincos)(sincos(),(2221+=式中式中C1、D1、C2和和D2是待定常数，由边界条件确定。是待定常数，由边界条件确定。由由x=0和和y=0面上的边界条件，可得面上的边界条件，可得zikzyekxkAEsinsin=021= CCyxzyekxkAEsinsin3=同样可得同样可得同样可得同样可得0000, 012=DCExEyx0, 0=xxzikyxxzyekxkAEsincos1=00, 0=DCEExy00, 021=DCyEyzikyxyzyekxkAEcossin2=yy由由x=a和和y=b面上的边界条件，得和必须为面上的边界条件，得和必须为的整数倍，即的整数倍，即bkakyx,.)3 , 2 , 1 , 0(,=nmbnkmkyx、)(bayxzikxzeybnxmAE=sincos1bazikzeynxmAE=cossinyeybxaAE=cossin2zikznmAEsinsin式中，式中，m和和n分别表示沿波导横截面分别表示沿波导横截面a边和边和b边驻波的半波数。边驻波的半波数。此外此外由由可得可得0 EikzzeybxaAE=sinsin3此外此外，由由，可得可得0= E0321=+AikAkAkzyx因此因此在在AA 和和A 中只有两个是独立的中只有两个是独立的对于每对于每()值值有两种独有两种独因此因此，在在A1、A2和和A3中只有两个是独立的中只有两个是独立的。对于每对于每一一(m,n)值值，有两种独有两种独立波型。得到立波型。得到E的解后，磁场的解后，磁场H就可以完全确定。就可以完全确定。H根据根据E的存在情况的存在情况可将矩形波导中的波分解为三种模式可将矩形波导中的波分解为三种模式zH根据根据zE的存在情况的存在情况，可将矩形波导中的波分解为三种模式可将矩形波导中的波分解为三种模式：)(12yHjxEkEzzcx+=)(1)(12HEjHxHjyEkEzzzzcy=+=222+=kkc)(1)(22yHxEjkHxyjkHzzcycx+=c沿沿z方向的传播常数方向的传播常数1、横电磁波（、横电磁波（TEM）0=zzHEjjk=0),(2=yxEt波导管内无波导管内无TEM波波zzjj0),(2=yxHt波导管内无波导管内无波波2、横电波（、横电波（TE）0, 0=zzHE3、横磁波（、横磁波（TM）引自工程电磁场理论冯慈璋主编引自工程电磁场理论冯慈璋主编 2000.6第一版见第一版见P298-2990, 0=zzHE9.2 柱坐标系中赫姆霍兹方程的解柱坐标系中赫姆霍兹方程的解9 2 柱坐标系中赫姆霍兹方程的解柱坐标系中赫姆霍兹方程的解9.2 柱坐标系中赫姆霍兹方程的解柱坐标系中赫姆霍兹方程的解在柱坐标系中，矢势在柱坐标系中，矢势A的赫姆霍兹方程的赫姆霍兹方程022=+AkA可表示为：可表示为：(4.1-10)、（、（4.1-11）01)(1222222=+UkzUUrrUrrr(9.2-1)式中式中U表示表示A的个分量的个分量它可以取它可以取AAA但不可以但不可以式中式中U表示表示A的的一一个分量个分量，它可以取它可以取Ax、Ay、Az,，但不可以但不可以取取Ar和和 A。因为单位矢量因为单位矢量er 和和 e 在空间各点方向不同。因此，在空间各点方向不同。因此，Ar 和和 A 是不满足赫姆霍兹方程的。但是可以根据是不满足赫姆霍兹方程的。但是可以根据Ax、Ay 按投按投y影的方法求出影的方法求出Ar和和 AAr和和 A满足什么方程的解？满足什么方程的解？用用分离变量法分离变量法求解，将求解，将U(r,z) 写成三个函数的积写成三个函数的积)()()(),(zZrRzrU=式中，式中，R仅为仅为r的函数；的函数；仅为仅为的函数；的函数；Z仅为仅为z的函数。的函数。将上式代入将上式代入(9.2-1)式中并除以式中并除以RZ，便得到便得到011)(1222=+ZdddRrdk0)(222=+dzZdrdrrdrRrk由于此式前两项仅与由于此式前两项仅与r、有关，而第三项仅与有关，而第三项仅与z有关，故可以假设有关，故可以假设2222221)(11hddRdkhdzZdZ=22221)(1hddrdrdRrdrdRrk=+式中式中h是任意分离常数。由上列方程的第一式立即可以求得函数是任意分离常数。由上列方程的第一式立即可以求得函数Z(z)的解，即的解，即ihzihzbeaezZ+=)(用用r2乘上面方程组的第二式，得到乘上面方程组的第二式，得到01)()(22222=+ddrhkdrdRrdrdRr由于这个方程式的前两项仅与由于这个方程式的前两项仅与r有关，而第三项仅与有关，而第三项仅与有关，所以假设有关，所以假设2221ndd=22222)()(nrhkdrdRrdrdRrd=+drdrR式中式中n是任意分离常数。则方程的第一式的解为是任意分离常数。则方程的第一式的解为,.)2, 1 ,0(sincos)(=+=nnDnC方程的第二式可以写成下面的形式方程的第二式可以写成下面的形式0)()(2222=+RnrhkdrdRrdrdrdrdr这就是这就是贝塞尔方程贝塞尔方程，它的解为，它的解为第一类贝塞尔函数第一类贝塞尔函数与与第二类贝塞尔函数第二类贝塞尔函数之和。即之和。即)(22rhkJn)(22rhkYn)()()(2222rhkGYrhkFJrRnn+=由于由于U是有限而且连续的函数，而随着是有限而且连续的函数，而随着r0变为无限大，变为无限大，故在这种情况下故在这种情况下U不可能包含有不可能包含有项项因此因此(9 2 1)式的解可式的解可)(22rhkYn故在这种情况下故在这种情况下，U不可能包含有不可能包含有项项。因此因此，(9.2-1)式的解可式的解可写成写成)(22rhkYn)()sincos()(),(22rhkJnDnCBeAezrUnihzihz+=)()()(),(n如果如果h为一固定常数，并要求为一固定常数，并要求U是是的单值函数，这时的单值函数，这时n只能取整数值，只能取整数值，于是在于是在r=0时仍为有限的时仍为有限的其通解为其通解为于是在于是在r=0时仍为有限的时仍为有限的，其通解为其通解为22)(i)()()(ihzihzihzihzhkJDCBAU(9 2 2)=+=022)(sin)(cos)(),(nnihzihzihzihzrhkJnDeCenBeAezrU(9.2-2)一般一般h不是固定常数不是固定常数则遍及则遍及h积分即可求得方程的通解积分即可求得方程的通解一般一般h不是固定常数不是固定常数，则遍及则遍及h积分即可求得方程的通解积分即可求得方程的通解。有些问题，特别是它的解与有些问题，特别是它的解与z有关，习惯上往往用有关，习惯上往往用m代换和用代换代换和用代换ih,则则(9.2-2)式可以写成如下形式式可以写成如下形式22hk 22km ()km+=)(sin)(cos)(),(22222222zkmzkmzkmzkmmrJnDeCenBeAezrU=+0)(sin)(cos)(),(nnmrJnDeCenBeAezrU根据根据叠加原理叠加原理，并把，并把m看成连续变量，可以取从看成连续变量，可以取从0到到的所有值，由积分可得出的所有值，由积分可得出 +(cos)()(222222zkmzkmzkmCenBeAezrU =+=00)(sin)(cos)(),(22nnzkmdmmrJnDeCenBeAezrU(9.2-3)式中式中A、B、C、D都是与都是与r、z无关的常数，但可能是无关的常数，但可能是m和和n的函数，这些函数是的函数，这些函数是由问题的边界条件来决定由问题的边界条件来决定的。的。+=22) 1(!) 1()(mnmnmnxxJ=+02) 1(!mmnmnmx+2) 1()(mnmxJ=+=02) 1(!) 1