由考研云助手整理( 专注免费考研资料 微信公众号提供更多资讯) 2018 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在的，请将所选项前的字母填在答题纸答题纸指定位置上指定位置上. 1. 1. 若2120lim1xxxeaxbx，则 （ ） （A）1,12ab （B）1,12ab （C）1,12ab （D）1,12ab 【答案】(B) 【解析】由重要极限可得 22222220112200111lim2101limlim 1 (1)lim 1 (1)xxxxxxxxxxeaxbxeaxbxxxeaxbxxxeaxbxeaxbxeaxbxe， 因此， 222222001()12lim0lim0 xxxxxaxbxxeaxbxxx 22201()(1)()12lim00,102xa xb xxabx 或用“洛必达” ：2(1)200012212lim0limlim0222xxxbxxxeaxbxeaxbeaaxx ， 故 1,12ab ，选（B）. 2. 2. 下列函数中在0 x 处不可导的是（ ） （A）( )sinf xxx （B）( )sinf xxx （C）( )cosf xx （D）( )cosf xx 【答案】(D) 由考研云助手整理( 专注免费考研资料 微信公众号提供更多资讯) 【解析】根据导数定义，A. 000sin( )(0)limlimlim0 xxxxxx xf xfxxx ，可导； B. 000sin( )(0)limlimlim0 xxxxxxxf xfxxx, 可导； C. 20001cos1( )(0)2limlimlim0 xxxxxf xfxxx ，可导； D. 200011cos122limlimlimxxxxxxxxx ，极限不存在。故选（D）. 3. 设函数1,0( )1,0 xf xx，2,1( ),10,0axxg xxxxbx ，若( )( )f xg x在R上连续，则（ ）. （A）3,1ab （B）3,2ab （C）3,1ab （D）3,2ab 【答案】 （D） 【解析】 令1,1( )( )( )1,101,0axxF xf xg xxxxbx ， 则 ( 1)1,(0)1,Fa Fb ( 1 0)2,(00)1,FF 因为函数连续，所以极限值等于函数值，即12,113,2abab ， 故选 （D）. 4. 设函数( )f x在0,1上二阶可导。且10( )0f x dx ，则 （ ） （A）当( )0fx时，1( )02f （B）当( )0fx时，1( )02f （C）当( )0fx时，1( )02f （D）当( )0fx时，1( )02f 【答案】 （D） 【解析一】有高于一阶导数的信息时，优先考虑“泰勒展开” 。从选项中判断，展开点为012x 。 将函数( )f x在012x 处展开，有 2111( )1( )( )( )()()2222!2ff xffxx，其中12x。 两边积分，得 1112000111( )10( )( )( )()()2222!2ff x dxffxdxxdx 1201( )1( )()22!2ffxdx， 由于 120( )1( )0()02!2ffxxdx ，所以1( )02f，应选（D）. 【解析二】排除法。 （A）错误。令1( )2f xx ，易知10( )0f x dx ，( )10fx ，但是1( )02f。 （B）错误。令21( )3f xx ，易知10( )0f x dx ，( )20fx ，但是1( )02f。 （C）错误。令1( )2f xx，易知10( )0f x dx ，( )10fx ，但是1( )02f。 故选 （D）. 5. 设2222(1)1xMdxx，221xxNdxe，22(1cos )Kx dx，则（ ） （A）MNK （B）MKN （C）KMN （D）KNM 【答案】 （C） 【解析】积分区间是对称区间，先利用对称性化简，能求出积分最好，不能求出积分则最简化积分。 22222222222(1)122(1)111xxxxMdxdxdxxxx， 2222(1cos )1Kx dxdx， 令( )1,(,)2 2xf xex x ，则( )1xfxe，当(,0)2x 时，( )0fx， 由考研云助手整理( 专注免费考研资料 微信公众号提供更多资讯) 当(0,)2x时，( )0fx，故 对(,)2 2x ，有( )(0)0f xf，因而 11xxe，222211xxNdxdxe，故KMN。应选（C）. 6. 22021210(1)(1)xxxxdxxy dydxxy dy （ ） （A）53 （B）56 （C）73 （D）76 【答案】 （C） 【解析】还原积分区域，如图所示： 积分区域D关于y轴对称，被积函数中xy关于x是奇函数，所以 22021210120(1)(1)7(1)(2)3xxxxDDdxxy dydxxy dyxy dxdydxdyxx dx， 故选（C） 。 7. 下列矩阵中阵，与矩阵110011001相似的是（ ） （A）111011001 （B）101011001 （C）111010001 （D）101010001 【答案】 （A） 【解析】记矩阵110011001H，则秩()3r H ，迹()3tr H ,特征值1 （三重） 。观察, , ,A B C D四个选项，它们与矩阵H的秩相等、迹相等、行列式相等，特征值也相等，进一步分析可得：()2rEH,()2rEA，()1rEB ()1rEC, ()1rED。如果矩阵A与矩阵X相似，则必有kEA与kEX相似（k为任意常数） ，从而()()r kEAr kEX） ，故选（A）, 8. 设,A B是n阶矩阵，记()r X为矩阵X 的秩，(, )X Y表示分块矩阵，则（ ） （A）( ,)( )r A ABr A （B）( ,)( )r A BAr A （C）( , )max ( ), ( )r A Br A r B （D）( , )(,)TTr A Br AB 【答案】 （A） 【解析】把矩阵,A AB 按列分块，记1212(,),(,)nnAAB ，则向量组12,n 可以由向量组12,n 线性表出，从而12,n 与 12,n ，12,n ，等价，于是( ,)( )r A ABr A，故选（A） 。 ,二、填空题：二、填空题：9 14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在分，请将答案写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上. 9. 若2limarctan(1)arctan xxxx 。 【答案】 1. 【解析】 【方法一】 由拉格朗日中值定理可得 21arctan(1) arctan,1xx 其中 1,0 xxx， 可知 2221111(1)11xx ，而 2222limlim11(1)1xxxxxx， 由考研云助手整理( 专注免费考研资料 微信公众号提供更多资讯) 根据夹逼定理可得，222limarctan(1)arctan lim11xxxxxx 。 【方法二】0型未定式的极限必须化成商式。 22arctan(1)arctanlimarctan(1)arctan limxxxxxxxx 322223221111 (1)(1)1 (1)1limlim22(1)1 (1) xxxxxxxxxx 432212lim12(1)1(1) xxxxx。 10. 曲线22lnyxx在其拐点处的切线方程为 。 【答案】43yx. 【解析】函数的定义域为(0,)，22yxx，222yx；34yx。 令 0y，解得 1x ，而(1)0y，故点 (1,1)是曲线唯一的拐点。曲线在该点处的斜率 (1)4y，所以切线方程为 43yx。 11. 2543dxxx ； 【答案】1ln22。 【解析】 2555111131lnln243231212dxxdxxxxxx。 12. 曲线33cossinxtyt ，在4t对应处的曲率 。 【答案】23。 【解析】有参数方程求导公式可知 223sincostan3cossindytttdxtt ， 22222( tan )sec3cossin3cossind yttdxtttt， 故曲率 22332222sec3cossin13 cos sin(1)(1tan)tyttKttyt，代入4t，可得423tK。 13. 设函数( , )zz x y由方程1lnzzexy确定，则 1(2, )2zx 。 【答案】14。 【解析】方程两边同时对x求导，得 11zzzeyz xx，将12,2xy 代入原方程可得 1z ，整理可得 1(2, )214zx。 14. 设A为 3 阶矩阵，123, 为线性无关的向量组，11232A， 2232A，323A ，则A的实特征值为 。 【答案】2. 【解析】 123123123200(,)(,)(,) 111121AAAA ， 令 123200(,),111121PC , 则 APPC, P可逆，故A相似于C，A于C有相同的特征值。 由考研云助手整理( 专注免费考研资料 微信公众号提供更多资讯) 2200111(2)(23)0121EC 解得矩阵的实特征值为 2。 1( )112( )1144( )22P CP CP C, 三三、解答题解答题：1523 小题小题，共共 94 分分.请将解答写在请将解答写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演证明过程或演算步骤算步骤. 15. （本题满分（本题满分 10 分）分）求不定积分2arctan1xxeedx. 【解析】221arctan1arctan12xxxxeedxede 22222222311arctan1arctan122111arctan1221(1)11arctan1122111arctan1(1)11222111arctan1(1)1262xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxeee ded eeeeeeee d eeeed ed eeeeeC 16. （本题满分（本题满分 10 分）分）已知连续函数 ( )f x 满足 200( )()xxf t dttf xt dtax （I）求( )f x； （II）若( )f x在区间0,1上的平均值为 1，求a的值。 【解析】令 uxt，则 dudt ，从而 0000()() ( )( )( )xxxxtf xt dtxu f u duxf u duuf u du， 原方程化为 2000( )( )( )xxxf t dtxf u duuf u duax，等式两边对x求导，得 0( )( )2xf xf u duax，且 (0)0f， 由于( )f x连续，可知0( )xf u du可导，进而有 ( )f x可导。 上式再求导可得 ( )( )2fxf xa。由一阶线性微分方程的通解公式可得 ( )(2)xxf xeaeC， 将(0)0f代入，解得2Ca ，于是 有 ( )2 (1)xf xae。 （II）根据题意可知 1011( )1 0f x dx，将( )2 (1)xf xae代入，可得 2ea 。 17.17.（本题满分（本题满分 1010 分）分）设平面区域D由曲线 sin,(02 )1 cosxtttyt 与x围成，计算二重积分(2 )Dxy d。 【解析】画积分区域的草图，化二重积分为二次积分 2( )22000(2 )(2 )( )( )y xDxy ddxxy dyxy xyx dx， 利用边界曲线方程sin ,1 cos ,(02 )xtt ytt 换元， 220(2 )(sin )(1 cos )(1 cos ) (sin )Dxy dttttd tt 222300(sin